Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - Завдання для перевірки знань до §§ 1-3

 4 

9. Розв'яжіть нерівність 5^х+1 - 3^х+2 ≥ 43 • 5^x-1 - 19 • 3^x.

Відповідь:

5^х+1 - 3^х+2 ≥ 43 • 5^x-1 - 19 • 3^x
5^x • 5¹ - 43 • 5^x • 5^-1 ≥ 3^x • 3² - 19 • 3^x
5^x • 5 - 43 • 5^x/5 ≥ 3^x • 9 - 19 • 3^x
25 • 5^x - 43 • 5^x ≥ 45 • 3^x - 95 • 3^x
-18 • 5^x ≥ -50 • 3^x   • (-1)
18 • 5^x ≤ 50 • 3^x   : 3^х   : 50
(18 • 5^x)/(50 • 3^x) ≤ 1
(9 • 5^x)/(25 • 3^x) ≤ 1
(5/3)^x • (3/5)² ≤ 1
(5/3)^x ≤ (5/3)²
y = (5/3)^t зростаюча функція, =>
х ≤ 2

х є (-∞; 2].

 3 

10. Знайдіть область визначення функції у = √25^х - 5^х+4.

Відповідь:

ОВФ - ?
у = √25^х - 5^х+4
25^х - 5^х+4 ≥ 0
5^2x - 5^x • 5⁴ ≥ 0
5^x(5^x - 5⁴) ≥ 0
метод інтервалів:
5^х = 0   5^х - 5⁴ = 0
Ø          5^х = 5⁴
             х = 4

х є [4; +∞).

 4 

11. Розв'яжіть рівняння (3 - 2√2)^х + (3 + 2√2)^х = 6.

Відповідь:

(3 - 2√2)^х + (3 + 2√2)^х = 6
(3 - 2√2) • (3 + 2√2) = 9 - 8 = 1, =>
(3 - 2√2) = 1/(3 + 2√2)
нехай:
(3 - 2√2)^х = t, t > 0
t + 1/t - 6 = 0
t² - 6t + 1 = 0
Д = (-6)² - 4 = 36 - 4 = 32
√32 = √16 • 2 = 4√2
t_1;2 = (6±4√2)/2 = (2(3±2√2))/2 = 3±2√2
(3 - 2√2)^х = 3 + 2√2    (3 - 2√2)^х = 3 - 2√2
х = -1                           х = 1.