РОЗДІЛ 3. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА ТА ДІЇ З НИМИ - § 34. Віднімання раціональних чисел

1162. Чи є число 11¹¹ + 12¹² + 1З¹³ кратним числу 10?

Для того, щоб дізнатися, чи кратне число 11¹¹ + 12¹² + 13¹³ числу 10, треба дізнатися його останню цифру.

1) Число 11ⁿ для будь–якого n останньою цифрою має цифру 1.

2) 12¹ = 12; 12² = 144; 12³ = …8; 12⁴ = …6; 12⁵ = …2.

Таким чином, прослідковується закономірність.

Остання цифра степеня 12ⁿ, де n – натуральне число, повторюється для чисел, показник степеня яких відрізняється на 4.

Оскільки 12 = 3 • 4, то число 12¹² буде мати останньою цифрою таку саму цифру, як число 124, тобто цифру 6.

3) 13¹ = 13; 13² = 169; 13³ = …7; 13⁴ = …1; 13⁵ = …3.

Міркуючи аналогічно, як у попередньому пункті, і помічаючи, що 13 = 3 • 4 + 1, робимо висновок, що число 13¹³ буде мати останньою цифрою таку саму цифру, як число 13, тобто цифру 3.

Оскільки 1 + 6 + 3 = 10, то число 11¹¹ + 12¹² + 13¹³ кратне числу 10.

Відповідь: Так.