§ 3. Системи лінійних рівнянь із двома змінними

1195. Доведіть, що різниця квадратів двох довільних натуральних чисел, кожне з яких не ділиться націло на 3, є кратною 3.

Нехай обидва натуральні числа при діленні на 3 дають однакові остачі 1 або 2.

Отримаємо:

а) (3n – 1)² – (3m – 1)² =

= (3n – 1 – 3m + 1)(3n – 1 + 3m – 1) =

= (3n – 3m)(3n + 3m – 2) =

= 3(n – m)(3n + Зm2) — кратне трьом;

б) (3n – 2)² – (Зm – 2)² =

= (3n – 2 – Зm + 2)(3n – 2 + 3m – 2) =

= (3n – 3m)(3n + 3m – 4) =

= 3(n – m)(3n + Зm – 4) — кратне трьом.

Якщо обидва натуральні числа при діленні на 3 дають різні остачі, то отримаємо:

(3n – 1)² – (3m – 2)² =

= (3n – 1 – 3m + 2)(3n – 1 + 3m – 2) =

= (3n – 3m + 1)(3n + 3m – 3) =

= 3(3n – 3m + 1)(n + m – 1) — кратне трьом.