§ 3. Системи лінійних рівнянь із двома змінними

1144. Остача при діленні числа a на 5 дорівнює 4, а остача при діленні на 5 числа b дорівнює 3. Доведіть, що значення виразу a² + b² кратне 5.

Якщо остачі від ділення чисел а і b на 5 відповідно дорівнюють 4 і 3, то а = 5n + 4 і b = 5m + 3.

Маємо:

а² + b² = (5n + 4)² + (5m + 3)² =

= 25n² + 40n + 16 + 25m² + 30m + 9 =

= 25n² + 40n + 25m² + 30m + 25 =

= 5(5n² + 8n + 5m² + 6m + 5) — кратне 5.