§ 2. Функції

945. Доведіть, що при будь–якому непарному значенні n значення виразу (4n +1)² − (n + 4)² кратне 120.

Якщо n — непарне число, то n = 2k + 1.

Тоді значення виразу (4n + 1)² – (n + 4)² дорівнює:

(4n + 1)² – (n + 4)² = (4(2k + 1) + 1)² – ((2k+ 1) + 4)² = (8k + 4 + 1)² – (2k+ 1 + 4)² = (8k + 5)² – (2k + 5)² = 64k² + 80k + 25 – (4k² + 20k + 25) = 64k² + 80k + 25 – 4k² – 20k – 25 = 60k² + 60k = 60k(k + 1) — кратне 120.