Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 6. Логарифмічні рівняння

Вправа 6.28

Умова:

Розв'яжіть рівняння:
1) log₅(х - 4) + log₅(10 - х) = 1;
2) log₂(х + 2) + log₂(х + 3) = log₂3 + 1;
3) lg(х - 1) - 2 = lg(2х - 11) - lg50;
4) log₃(х + 3) + 1 = log₃(3х - 1) + log₃(х + 1).

Відповідь:

1) log₅(х - 4) + log₅(10 - х) = 1
1 = log₅5
log₅(х - 4) + log₅(10 - х) = log₅5
log₅(х - 4)(10 - х) = log₅5
           х - 4 > 0    х > 4                х > 4
ОДЗ: {                {                      {
          10 - х > 0   -х > -10 • (-1)  х < 10

х є (4; 10)
(х - 4)(10 - х) = 5
10х - х² - 40 + 4х - 5 = 0
-х² + 14х - 45 = 0   • (-1)
х² - 14х + 45 = 0
Д = (-14)² - 4 • 45 = 196 - 180 = 16
х_1;2 = (14±4)/2 = 9; 5.
Відповідь: 9; 5
2) log₂(х + 2) + log₂(х + 3) = log₂3 + 1
1 = log₂2
log₂(х + 2) + log₂(х + 3) = log₂3 + log₂2
log₂(х + 2)(х + 3) = log₂6
           х + 2 > 0   х > -2
ОДЗ: {                {             х > -2
          х + 3 > 0    х > -3
(х + 2)(х + 3) = 6
х² + 3х + 2х + 6 - 6 = 0
х² + 5х = 0
х(х + 5) = 0
х₁ = 0, х₂ = -5;
3) lg(х - 1) - 2 = lg(2х - 11) - lg50
2 = lg100
lg(х - 1) - lg100 = lg(2х - 11) - lg50
lg(х-1)/100 = lg(2х-11)/50
           х - 1 > 0      х > 1        х > 1
ОДЗ: {                  {              {            => x > 5,5
          2х - 11 > 0   2х > 11    х > 5,5
(х-1)/100 = (2х-11) /50   : 50
(х-1)/2 = 2х - 11
х - 1 = 2(2х - 11)
х - 1 = 4х - 22
4х - х = -1 + 22
3х = 21
х = 7;
4) log₃(х + 3) + 1 = log₃(3х - 1) + log₃(х + 1)
1 = log₃3
log₃(х + 3) + log₃3 = log₃(3х - 1) + log₃(х + 1)
log₃ • 3(х + 3) = log₃(3х - 1)(х + 1)
            х + 3 > 0     х > -3     х > -3
ОДЗ: { 3х - 1 > 0  { 3х > 1  { х > 1/3    x > 1/3
            х + 1 > 0     х > -1     х > -1
3 • (х + 3) = (3х - 1)(х + 1)
3х + 9 = 3х² + 3х - х - 1
3х² + 2х - 1 - 3х - 9 = 0
3х² - х - 10 = 0
Д = (-1)² - 3 • 4 • (-10) = 121
х_1;2 = (1±11)/6 = 2; -1 2/3
х₁ = -1 2/3 не підходить під ОДЗ
х = 2.