Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 6. Логарифмічні рівняння

Вправа 6.35

Умова:

Розв'яжіть рівняння:
1) (3log₂х-10)/(log₂х+4) = (log₂х-4)/(log₂х+1);
2) (log₃х)/(2log₃х-6) + 9/(9-log₃²х) = 8/(2log₃х+6);
3) 2lg²х + (1 - √2)lgх² = 2√2;
4) 4 - log²х = 3√log₂х.

Відповідь:

1) (3log₂х-10)/(log₂х+4) = (log₂х-4)/(log₂х+1)
(3log₂х - 10)(log₂х + 1) = (log₂х + 4)(log₂х - 4)
3log₂²х + 3log₂х - 10log₂х - 10 = log₂²х - 4log₂х + 4log₂х - 16
3log₂²х - log₂²х - 7log₂х - 10 + 16 = 0
2log₂²х - 7log₂х + 6 = 0
ОДЗ: х > 0
заміна: log₂х = t
2t² - 7t + 6 = 0
Д = (-7)² - 4 • 2 • 6 = 49 - 48 = 1
t_1;2 = (7±1)/4 = 2; 1,5
log₂х = t₁   log₂х = t₂
log₂х = 2   log₂х = 1,5
х = 2₂        х = 2_3/2
х₁ = 4        х = √2³ = √8
                  х₂ = 2√2;
2) (log₃х)/(2log₃х-6) + 9/(9-log₃²х) = 8/(2log₃х+6)
(log₃х)/(2(log₃х-3)) - 9/(log₃²х-9) = 8/(2(log₃х+3))
(log₃х)/(2(log₃х-3)) - 9/(log₃²х-9) - 8/(2(log₃х+3)) = 0
log₃²х + 3log₃х - 18 - 8log₃х + 24 = 0
ОДЗ: х > 0
log₃²х - 5log₃х + 6 = 0
заміна: log₃х = t
t² - 5t + 6 = 0
Д = (-5)² - 4 • 6 = 1
t_1;2 = (5±1)/2 = 3; 2
log₃х = t₁   log₃х = t₂
log₃х = 3    log₃х = 2
х = 3³        х = 3²
х = 27        х = 9;
3) 2lg²х + (1 - √2)lgх² = 2√2
2lg²х + 2(1 - √2)lgх - 2√2 = 0   : 2
lg²х + (1 - √2)lgх - √2 = 0
ОДЗ: х > 0
заміна: lgх = t
t² + (1 - √2)t - √2 = 0
Д = (1 - √2)² + 4 • √2 = 1 - 2√2 + (√2)² + 4√2 = 1 - 2√2 +
2 + 4√2 = 3 + 2√2 = 1 + 2√2 + 2 = (1 + √2)²
√Д = √(1+√2)² = 1 + √2
t_1;2 = (-(1-√2)±(1+√2))/2
t₁ = (-1+√2+1+√2)/2 = (2√2)/2 = √2
t₂ = (-1+√2-1-√2)/2 = -2/2 = -1
lgх = t₁     lgх = t₂
lgх = √2    lgх = -1
х = 10^√2   х = 0,1;
4) 4 - log₂х = 3√log₂х
ОДЗ: х > 0
заміна: √log₂х = t
4 - t² = 3t
-t² - 3t + 4 = 0
Д = (-3)² - 4 • 4 • (-1) = 25
t_1;2 = (3±5)/-2 = -4; 1
√log₂х = t₁    √log₂х = t₂
√log₂х = -4   √log₂х = 1
Ø                   log₂х = 1
                      х = 2.