Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 6. Логарифмічні рівняння

Вправа 6.52

Умова:

Знайдіть множину коренів рівняння:
1) 2log₃²х - 7log₃(3х) + 3 = 0;
2) lg(100х)lgх = -1;
3) log₃(9х) • log₃(1/9х) = 5;
4) 4log₂₅(5х) = 5 - log₅³х.

Відповідь:

1) 2log₃²х - 7log₃(3х) + 3 = 0
2log₃²х - 7 • (log₃3 + log₃х) + 3 = 0
2log₃²х - 7(1 + log₃х) + 3 = 0
2log₃²х - 7 - 7log₃х + 3 = 0
2log₃²х - 7log₃х - 4 = 0
ОДЗ: х > 0
заміна: log₃х = t
2t² - 7t - 4 = 0
Д = (-7)² - 4 • (-4) • 2 = 49 + 32 = 81
t_1;2 = (7±9)/4 = 4; -1/2
log₃х = t₁   log₃х = t₂
log₃х = 4   log₃х = -1/2
х = 3⁴        х = 3^-1/2
х = 81       х = √1/3;
2) lg(100х)lgх = -1
(lg100 + lgх) • lgх = -1
(2 + lgх)lgх = -1
2lgх + lg²х + 1 = 0
ОДЗ: х > 0
lg²х + 2lgх + 1 = 0
заміна: lgх = t
t² + 2t + 1 = 0
(t + 1)² = 0
t + 1 = 0   t = -1
lgх = t
lgх = -1
х = 0,1;
3) log₃(9х) • log₃(1/9х) = 5
ОДЗ: х > 0
(log₃9 + log₃х) • (log₃1/9 + log₃х) = 5
(log₃3² + log₃х) • (log₃3^-2 + log₃х) = 5
(2 + log₃х) • (-2 + log₃х) = 5
заміна: log₃х = t
(t + 2)(t - 2) = 5
t² - 4 = 5
t² = 9
√t² = √9
|t| = 3
t₁ = 3 t₂ = -3
log₃х = t₁   log₃х = t₂
log₃х = 3   log₃х = -3
х = 3³          х = 3^-3
х = 27       х = 1/27;
4) 4log₂₅(5х) = 5 - log₅³х
ОДЗ: х > 0
4log₅²(5х) = 5 - log₅³х
4/2log₅(5х) = 5 - log₅³х
2log₅(5х) = 5 - log₅³х
log₅(5х)² = 5 - log₅³х
(log₅5² + log₅х²) = 5 - log₅³х
2 + log₅х² = 5 - log₅³х
2 + 2log₅х - 5 + log₅³х = 0
log₅³х + 2log₅х - 3 = 0
заміна: log₅х = t
t² + 2t - 3 = 0
Д = 2² - 4 • (-3) = 16
t_1;2 = (-2±4)/2 = -3; 1
log₅х = t₁    log₅х = t₂
log₅х = -3   log₅х = 1
х = 5^-3        х = 5¹
х = 1/125   х = 5.