Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 6. Логарифмічні рівняння

Вправа 6.32

Умова:

Розв'яжіть рівняння:
1) log₅²(х - 2) + 3log₅(х - 2) - 4 = 0;
2) log₄²х - log₄х³ = 0;
3) log₄²(х - 1) - 6log₄³√(х-1) + 1 = 0;
4) 2/(log₃х) + 1/(log₃х-2) = 1.

Відповідь:

1) log₅²(х - 2) + 3log₅(х - 2) - 4 = 0
ОДЗ: х - 2 > 0   x > 2
заміна: log₅(х - 2) = t
t² + 3t - 4 = 0
Д = 3² - 4 • (-4) = 25
t_1;2 = (-3±5)/2 = -4; 1
log₅(х - 2) = t₁     log₅(х - 5) = t₂
log₅(х - 2) = -4    log₅(х - 2) = 1
х - 2 = 5^-4            х - 2 = 5¹
х - 2 = 1/625       х = 7
х = 2 1/625;

2) log₄²х - log₄х³ = 0
ОДЗ: x > 0
заміна: log₄х = t
log₄²х - 3log₄х = 0
t² - 3t = 0
t(t - 3) = 0
t₁ = 0    t - 3 = 0
t₂ = 3
log₄х = t₁   log₄х = t₂
log₄х = 0   log₄х = 3
х = 4⁰        х = 4³
х = 1         х = 16

Відповідь: 1; 16;

3) log₄²(х - 1) - 6log₄³√(х-1) + 1 = 0
log₄²(х - 1) - log₄(³√х-1)⁶ + 1 = 0
log₄²(х - 1) - log₄(х - 1)² + 1 = 0
log₄²(х - 1) - 2log₄(х - 1) + 1 = 0
ОДЗ: х - 1 > 0   х > 1
заміна: log₄(х - 1) = t
t² - 2t + 1 = 0
(t - 1)² = 0   t - 1 = 0   t = 1
log₄(х - 1) = t
log₄(х - 1) = 1
х - 1 = 4¹
х = 5;

4) 2/(log₃х) + 1/(log₃х-2) = 1
ОДЗ: х > 0
заміна: log₃х = t
2/t + 1/(t-2) = 1
ОДЗ: t ≠ 0    t ≠ 2
2(t - 2) + t = t² - 2t
2t - 4 + t = t² - 2t
t² - 2t- 2t + 4 - t = 0
t² - 5t + 4 = 0
Д = (-5)² - 4 • 4 = 9
t_1;2 = (5±3)/2 = 4; 1
log₃х = t₁   log₃х = t₂
log₃х = 4    log₃х = 1
х = 3⁴         х = 3¹
х = 81        х = 3.