Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 4. Поняття логарифма. Властивості логарифмів

Вправа 4.51

Розв'яжіть рівняння:
1) 4^х - 4 • 2^х - 5 = 0; 2) 25^х - 5^х+1 + 4 = 0; 3) 3^х+1 + 18 • 3^-х = 29.

Відповідь:

1) 4^х - 4 • 2^х - 5 = 0
2^х = у; у² - 4у - 5 = 0
Д = 16 - 4 • (-5) = 36
у₁ = (4+6)/(2•1) = 10/2 = 5
у₂ = (4-6)/(2•1) = -2/2 = 1
у > 0, тому у₂ - не підходить
2^х = 5
х = log₂5;

2) 25^х - 5^х+1 + 4 = 0
(5^х)² - 5 • 5^х + 4 = 0
5^х = у
у² - 5у + 4 = 0
Д = 25 - 4 • 1 • 4 = 9
у₁ = (5+3)/(2•1) = 4
у₂ = (5-3)/(2•1) = 1
5^х = 4               5^х = 1
х₁ = log₅4         х₂ = log₅1
                         х₂ = 0;

3) 3_х+1 + 18 • 3_-х = 29
3 • 3^х + 18 • (3^х)^-1 - 29 = 0
3^х = у
3х + 18х^-1 - 29 = 0
37 + 18/у - 29 = 0 | • у
3у² - 29уу + 18 = 0
Д = 841 - 4 • 3 • 18 = 841 - 216 = 625
у₁ = (29 + 25)/(2 • 3) = 54/6 = 9
у₂ = (29 - 25)/(2 • 3) = 4/6 = 2/3
3^х = 9              3^х = 2/3
х₁ = 2              х₂ = log₃2/3.