Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції

Вправа 4.52

Розв'яжіть рівняння:
1) 9^х - 3^х - 2 = 0; 2) 4^х - 2^х+2 + 3 = 0; 3) 2 • 5^-х + 5^1+х = 11.

Відповідь:

1) 9^х - 3^х - 2 = 0
у = 3^х
у² - у - 2 = 0
Д = 1 - 4 • 1 • (-2) = 9
у₁ = (1+√9)/(2•1) = 2
у₂ = (1-√9)/(2•1) = -1
у > 0, тому у₂ - не підходить
3^х = 2
х = log₃2;

2) 4^х - 2^х+2 + 3 = 0
у = 2^х
(2^х)² - 4 • 2^х + 3 = 0
у² - 4у + 3 = 0
Д = 4 - 4 • 1 • 3 = -8
Ø;

3) 2 • 5^-х + 5^1+х = 11
5^х = у
2/у + 5у - 11 = 0 | • у
5у² - 11у + 2 = 0
Д = 121 - 4 • 5 • 2 = 81
у₁ = (11 + 9)/(2 • 5) = 2
у₂ = (11 - 9)/(2 • 5) = 2/10 = 0,2
5^х = 2           5^х = 1/5
                     5^х = 5^-1
х₁ = log₅2     х₂ = -1.