Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 5. Логарифмічна функція, її властивості та графік

Вправа 5.56

Умова:

Дослідіть функцію на монотонність:
1) у = log_0,7(x - 5);    2) у = lg(2x + 5);
3) у = log_0,12(3 - х);  4) у = log₅(4 - 1/7х).

Відповідь:

1) у = log_0,7(х - 5)
Д(у): х - 5 > 0 х > 5
у'   у' = (log0,7(х - 5))' = 1/(х-5) • 1/(ln0,7)
у' = 0
1/((х-5)ln0,7) = 0
1/((х-5)ln0,7) < 0
х є (5; +∞)
у спадає на всій області визначення;
2) у = lg(2х + 5)
Д(у): 2х + 5 > 0 2х > -5
х > -2,5
у' у' = (lg(2х + 5))' = (1•2)/((2х+5)ln10)
2/((2х+5)•ln10) > 0
у зростає на всій ОДЗ;
3) у = log_0,12(3 - х)
Д(у): 3 - х > 0   -х > -3 • (-1)
                         х < 3
у' = (log_0,12(3 - х))' = -(1)/((3-х)ln_0,12)
-(1)/((3-х)ln_0,12) < 0
у спадає на всій області визначення;
4) у = log₅(4 - 1/7х)
Д(у): 4 - 1/7х > 0 -1/7х > -4 • (-1)   х < 28
у' = (log₅(4 - 1/7х))' = 1/((4-1/7х)ln₅) • (-1/7) = -(1)/((4-1/7х)ln₅) < 0
функція спадає, зростаюча функція log5х входить в похідну зі знаком "-".