Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.12

Розв'яжіть нерівність:
1) 12^{(х+2)/(4х-8)} ≤ 1; 2) 0,7^{(х+4)/(1-х)} > 1.

Відповідь:

1) 12^{(х+2)/(4х-8)} ≤ 1
ОДЗ:
4х - 8 ≠ 0
4х ≠ 8
х ≠ 2
12^{(х+2)/(4х-8)} ≤ 12⁰
(х + 2)/(4х - 8) ≤ 0

х є (-∞; -2) U (2; +∞)
функція у = 12^t є зростаючою
 х + 2 ≥ 0
{
 4х - 8 ≤ 0
 х ≥ -2
{
 х ≤ 2

х є [-2; 2]
 х + 2 ≤ 0
{
 4х - 8 ≥ 0
 х ≤ -2
{
 х ≥ 2

х є (-∞; 2) U [2; +∞]
враховуючи ОДЗ:
х є (-∞; 2) U (2; +∞).

2) 0,7^{(х+4)/(1-х)} > 1
ОДЗ:
1 - х ≠ 0
х ≠ 1

х є (-∞; 1) U (1; +∞)
0,7^{(х+4)/(1-х)} > 7⁰
функція у = 0,7^t є спадною, =>
(х + 4)/(1 - х) < 0
 х + 4 > 0
{
 1 - х < 0
 х > -4
{
 -х < -1   • (-1)
 х > -4
{
 х > 1

х є (1; +∞)
 х + 4 < 0
{
1 - х > 0
 х < -4
{
 -х > -1
 х < -4
{
 х < 1

х є (-∞; -4)

х є (-∞; -4) U (1; +∞).