Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.25

Розв'яжіть нерівність:
1) 3^2х - 4 • 3^х + 3 < 0;
2) (1/7)^2х + 6 • (1/7)^х - 7 ≤ 0;
3) 4^х - 2^х - 12 ≥ 0;
4) (1/25)^х + (1/5)^х - 2 > 0;
5) 2^2х+3 - 3 • 2^2х+1 + 1 < 0;
6) 4^-х + 8 > 9 • 2^-х.

Відповідь:

1) 3^2х - 4 • 3^х + 3 < 0
заміна:
3^х = t, t > 0
 t² - 4t + 3 > 0
{
 t > 0
t² - 4t + 3 < 0
Д = (-4)² - 4 • 3 = 16 - 12 = 4
t_1;2 = (4±2)/2
t₁ = 3, t₂ = 1
1 ≤ t ≤ 3
1 ≤ 3^х ≤ 3
у = 3^t - зростаюча функція
3х ≥ 1       3х ≤ 3
3х ≥ 30     х ≤ 1
х ≥ 0

х є [0; 1];

2) (1/7)^2х + 6 • (1/7)^х - 7 ≤ 0
заміна:
(1/7)^х = t, t > 0
t² + 6t - 7 < 0
Д = 6² - 4 • (-7) = 36 + 28 = 64
t_1;2 = (-6±8)/2
t₁ = -7 - не підходить, t₂ = 1
(1/7)^х ≤ t₂
(1/7)^х ≤ 1
(1/7)^х ≤ (1/7)⁰
у = (1/7)^t є спадною, =>
x ≥ 0

х є [0; +∞);

3) 4^х - 2^х - 12 ≥ 0
заміна:
2^х = t, t > 0
2^2х - 2^х - 12 ≥ 0
 t² - t - 12 ≥ 0
{
 t > 0
t² - t - 12 ≥ 0
Д = (-1)² - 4 • (-12) = 49
t_1;2 = (1±7)/2
t₁ = 4, t₂ = -3 - не підходить
у = 2^х функція зростаюча, =>
2^х ≥ 4
2^х ≥ 2²
х ≥ 2

х є [2; +∞);

4) (1/25)^х + (1/5)^х - 2 > 0
(1/5)^2х + (1/5)^х - 2 > 0
заміна:
(1/5)^х = t, t > 0
 t² + t - 2 > 0
{
 t > 0
t² + t - 2 > 0
Д = 1 - 4 • (-2) = 9
t_1;2 = (-1±3)/2
t₁ = -2 - не підходить, t₂ = 1
(1/5)^х > 1
(1/5)^x > (1/5)⁰
функція у = (1/5)^t є спадною,
х < 0

х є (-∞; 0);

5) 2^2х+3 - 3 • 2^2х+1 + 1 < 0
2^2х • 2³ - 3 • 2^2х • 2 + 1 < 0
8 • 2^2х - 6 • 2^2х + 1 < 0
2^2х(8 - 6) + 1 < 0
2^2х • 2 + 1 < 0
2^2х+1 < -1
нерівність не має розв'язків;

6) 4^-х + 8 > 9 • 2^-х
4^-х - 9 • 2^-х + 8 > 0
2^-2х - 9 • 2^-х + 8 > 0
заміна:
2^-х = t, t > 0
 t² - 9t + 8 > 0
{
 t > 0
t² - 9t + 8 > 0
Д = (-9)² - 4 • 8 = 81 - 32 = 49
t_1;2 = (9±7)/2
t₁ = 8, t₂ = 1
у = 2^-х
1 < t < 8
1 < 2^-x < 8
2^-x > 1            2^-x < 8
2^-x > 2⁰          2^-x < 2³
-x > 0 • (-1)   -x < 3 • (-1)
x > 0              x > -3

х є (-3; 0).