Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.49

Розв'яжіть нерівність:
(³√3 + √8)^х + (³√3 - √8)^х > 6.

Відповідь:

(³√3 + √8)^х + (³√3 - √8)^х > 6
³√3 - √8 • ³√3 + √8 = ³√(3 - √8)(3 + √8) = ³√3² - (√8)² = ³√9 - 8 = 1
=> ³√3 - √8 = 1/(³√3 + √8)
нехай: (³√3 + √8)^х = t, t > 0
(³√3 - √8)^х = 1/t
1/t + t > 6
1 + t² > 6t
t² - 6t + 1 > 0
д = (-6)² - 4 • 1 = 36 - 4 = 32
√Д = √32 = √16 • 2 = 4√2 = √8 • 4 = 2√8
t_1;2 = (6±2√8)/2 = (2(3±√8))/2
(³√3 + √8)^х = 3 + √8      (³√3 + √8)^х = 1/(3 + √8)
(3 + √8)^х/3 = 3 + √8       (3 + √8)^х/3 = (3 + √8)^-1
х/3 = 1                           х/3 = -1
х = 3                              х = -3

х є (-∞; -3) U (3; +∞).