Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.24

Розв'яжіть нерівність:
1) 3^х+1 + 3^х > 36;
2) (1/5)^х-1 - (1/5)^х ≤ 100;
3) 2^5х + 2^5х+2 < 20;
4) 0,3^6х-1 - 0,3^6х ≥ 0,7;
5) 2^4х-1 + 2^4х-2 - 2^4х-3 ≤ 160;
6) 100 • 0,3^4х+2 - 0,09^2х + 5 • 0,0081^х < 13;
7) 5^1-х - (0,2)^х+1 < 4,8;
8) 25^х+1,5 - 5^2х+2 ≥ 2500.

Відповідь:

1) 3^х+1 + 3^х > 36
3^х • 3 + 3^х > 36
3^х(3 + 1) > 36
3^х • 4 > 36
3^х > 9
3^х > 3²
у = 3^х - функція зростаюча, =>
x > 2

х є (2; +∞);

2) (1/5)^х-1 - (1/5)^х ≤ 100
(1/5)^х • (1/5)^-1 - (1/5)^х ≤ 100
(1/5)^х(5 - 1) ≤ 100
(1/5)^х • 4 ≤ 100
(1/5)^х ≤ 100/4
(1/5)^х ≤ 25
(1/5)^х ≤ (1/5)^-2
функція у = (1/5)^t є спадною, =>
х ≥ -2

х є [-2; +∞);

3) 2^5х + 2^5х+2 < 20
2^5х + 2^5х • 2² < 20
2^5х + 4 • 2^5х < 20
2^5х(1 + 4) < 20
2^5х • 5 < 20
2^5х < 4
2^5х < 2²
функція у = 2^t є зростаючою, =>
5х < 2
х < 2/5

х є (-∞; 0,4);

4) 0,3^6х-1 - 0,3^6х ≥ 0,7
0,3^6х • 0,3^-1 - 0,3^6х ≥ 0,7
0,3^6х • (10/3 - 1) ≥ 0,7
0,3^6х • (+7/3) ≥ 7/10
0,3^6х • 7/3 ≥ +7/10
0,3^6х ≥ +7/10 : 7/3
0,3^+6х ≥ 0,3
функція у = 0,3^t є спадною, =>
6х ≤ 1
х ≤ 1/6

х є (-∞; 1/6];

5) 2^4х-1 + 2^4х-2 - 2^4х-3 ≤ 160
2^4х • 2^-1 + 2^4х • 2^-2 - 2^4х • 2^-3 ≤ 160
2^4х • (2^-1 + 2^-2 - 2^-3) ≤ 160
2^4х • (1/2 + 1/4 - 1/8) ≤ 160
2^4х • 5/8 ≤ 160
2^4х ≤ 160 : 5/8
2^4х ≤ 256
2^4х ≤ 2⁸
функція у = 2^t є зростаючою, =>
4х ≤ 8
х ≤ 2

х є (-∞; 2];

6) 100 • 0,3^4х+2 - 0,09^2х + 5 • 0,0081^х < 13
100 • 0,3^4х+2 - 0,3^4х + 5 • 0,3^4х < 13
100 • 0,3² • 0,3^4х - 0,3^4х + 5 • 0,3^4х < 13
9 • 0,3^4х - 0,3^4х + 5 • 0,3^4х < 13
0,3^4х(9 - 1 + 5) < 13
0,3^4х • 13 < 13
0,3^4х < 1
0,3^4х < 0,3⁰
функція у = 0,3^t є спадною, =>
4х > 0
х > 0

х є (0; +∞);

7) 5^1-х - (0,2)^х+1 < 4,8
5^1-х - (1/5)^х+1 < 4,8
5^1-х - (5)^-(х+1) < 4,8
5¹ • 5^-х - 5^-х • 5^-1 < 4,8
5^-х • (5 - 1/5) < 4,8
5^-х • 4,8 < 4,8
5^-х < 1
5^-х < 5⁰
-х < 0   • (-1)
х > 0

х є (0; +∞);

8) 25^х+1,5 - 5^2х+2 ≥ 2500
5^2(х+1,5) - 5^2х+2 ≥ 2500
5^2х+3 - 5^2х+2 ≥ 2500
5^2х • 5³ - 5^2х • 5² ≥ 2500
5^2х • (5³ - 5²) ≥ 2500
5^2х • (125 - 25) ≥ 2500
5^2х • 100 ≥ 2500
5^2х ≥ 25
5^2х ≥ 5²
функція у = 5^t зростаюча, =>
2х ≥ 2
х ≥ 1

х є [1; +∞).