Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.44

Знайдіть множину розв'язків нерівності:
1) (0,008 - 0,2^х)/(х² - 10х + 25) ≥ 0;
2) (х² + 6х + 9)/(2^х - 4) ≥ 0;
3) (4^х/2 - 8^х)(5^х - 625) ≤ 0;
4) 49 + x² • 7^x ≤ x² + 7^x+2.

Відповідь:

1) (0,008 - 0,2^х)/(х² - 10х + 25) ≥ 0
ОДЗ:
х² - 10х + 25 ≠ 0
(х - 5)² ≠ 0
х - 5 ≠ 0
х ≠ 5
0,008 - 0,2^х ≥ 0
0,2³ - 0,2^x ≥ 0
-0,2^x ≥ -0,2³    • (-1)
0,2^x ≤ 0,2³
y = 0,2^x спадна, =>
x ≥ 3

х є [3; 5) U (5; +∞);

2) (х² + 6х + 9)/(2^х - 4) ≥ 0
ОДЗ:
2^х - 4 ≠ 0
2^х ≠ 2²
х ≠ 2
х² + 6х + 9 ≥ 0
(x + 3)² ≥ 0
x + 3 ≥ 0
x ≥ -3

х є [-3; 2) U (2; +∞);

3) (4^х/2 - 8^х)(5^х - 625) ≤ 0
метод інтервалів:
4^х/2 - 8^х ≤ 0       5^x - 625 ≤ 0
нулі функції:
2^2•х/2 - 2^3х ≤ 0   5^x - 5⁴ ≤ 0
2^x - 2^3x ≤ 0        5^x ≤ 5⁴
заміна: 2^х = t    x ≤ 4
t - t³ ≤ 0
t(1 - t²) ≤ 0
t₁ = 0   1 - t₂ = 0
            t₂ = 1
            t₂ = -1
            t₃ = 1

х є (-∞; -1];

4) 49 + x² • 7^x ≤ x² + 7^x+2
49 + x² • 7^x ≤ x² + 7^x • 7²
49 + x² • 7^x - x² - 7^x • 49 ≤ 0
(49 - 7^x • 49) + (x² • 7^x - x²) ≤ 0
49(1 - 7^x) + x²(7^x - 1) ≤ 0
49 • (1 - 7^x) - x²(1 - 7^x) ≤ 0
(1 - 7^x) • (49 - x²) ≤ 0
метод інтервалів.
нулі функції:
1 - 7^х = 0   49 - х² = 0
7^х = 1        х² = 49
7^х = 7⁰       х₁ = -7
х = 0          х₂ = 7

х є (-∞; -7] U [0; 7].