Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.45

Знайдіть множину розв'язків нерівності:
1) 2^√х - 2^1-√х ≤ 1; 2) 8/(4^х+1 - 4) > 4^x.

Відповідь:

1) 2^√х - 2^1-√х ≤ 1
ОДЗ: x ≥ 0
2^√х - 2/2^√х ≤ 1
заміна: 2^√х = t, t > 0
t - 2/t - 1 ≤ 0
t² - t - 2 ≤ 0
Д = (-1)² - 4 • (-2) = 9
t_1;2 = (1±3)/2, t₁ = 2; -1 не підходить
0 ≤ t ≤ 2
2^√х ≤ 2
√х ≤ 1
x ≤ 1

х є [0; 1];

2) 8/(4^х+1 - 4) > 4^x
ОДЗ:
4^х+1 - 4 > 0
4^x+1 > 4
x + 1 > 1
x > 0
заміна: 4x = t, t > 0
8/(4^x • 4 - 4) ≥ 4^x
8/(4t - 4) - t ≥ 0
8 - 4t² + 4t ≥ 0
-4t² + 4t + 8 ≥ 0
Д = 4² - 4 • (-4) • 8 = 129 + 16 = 144
t_1;2 = (-4±12)/-8, t₁ = 2, t₂ = -1, -1 ≤ t ≤ 2
4^x ≤ 2
2^2x ≤ 2¹
2x ≤ 1
x ≤ 0,5

х є (-∞; 0,5].