Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.38

Розв'яжіть нерівність:
1) 2 • 4^х - 5 • 6^х + 3 • 9^х ≥ 0;
2) 5 • 4^х + 2 • 25^х < 7 • 10^х.

Відповідь:

1) 2 • 4^х - 5 • 6^х + 3 • 9^х ≥ 0
6^х = 2^х • 3^х
2 • 2^2х - 5 • 2^х • 3^х + 3 • 3^2х ≥ 0    : 3^2х
3^2x ≠ 0
(2•2^2х)/3^2х - (5•2^х•3^х)/3^2х + (3•2^2х)/3^2х ≥ 0
2 • (2/3)^2х - 5 • (2/3)^х + 3 ≥ 0
(2/3)^х = t, t > 0
2t² - 5t + 3 ≥ 0
Д = (-5)² - 4 • 2 • 3 = 1
t_1;2 = (5±1)/4, t₁ = 1, t₂ = 3/2
                              1 ≤ t ≤ 3/2
(2/3)^x ≥ 1               (2/3)^x ≤ 3/2
(2/3)^x ≥ (2/3)⁰        (2/3)^x ≤ (2/3)^-1
функція у = (2/3)^t    x ≥ -1
є спадною, => 
x ≤ 0

х є [-∞; -1] U [0; +∞);
 

2) 5 • 4^х + 2 • 25^х < 7 • 10^х
10^х = 2^х • 5^х
5 • 2^2х + 2 • 5^2х < 7 • 2^х • 5^х    : 5^2х
5^2х ≠ 0
(5•2^2х)/5^2х + (2•5^2х)/5^2х < (7•2^х•5^х)/5^2х
5 • (2/5)^2х + 2 < 7 • (2/5)^х
(2/5)^х = t, t > 0
5t² - 7t + 2 < 0
Д = (-7)² - 5 • 4 • 2 = 9
t_1;2 = (7±3)/10, t₁ = 2/5, t₂ = 1
                      2/5 < t < 1
(2/5)^х > 2/5    (2/5)^х < 1
функція у = (2/5)^t є спадною, =>
x > 1               x > 0

х є (0; 1).