Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.47

Розв'яжіть нерівність:
1) √2^-х - 15 ≥ 5 - 2^-x/2;
2) √0,25^х - 3 • 0,5^х + 2 > 2 - 0,5^x.

Відповідь:

1) √2^-х - 15 ≥ 5 - 2^-x/2
ОДЗ:
2^-х - 15 ≥ 0
x ≤ -4
(√2^-х - 15) ≥ (5 - 2^-x/2)²
|2^-x - 15| ≥ 5² - 2 • 5 • 2^-x/2 + 2^2•(x/2)
2^-x - 15 - 25 + 10 • 2^-x/2 - 2^-x ≥ 0
10 • 2^-x/2 - 40 ≥ 0
10 • 2^-x/2 ≥ 40
2^-x/2 ≥ 4
2^-x/2 ≥ 2²
-x/2 ≥ 2
-x ≥ 4    • (-1)
x ≤ -4

х є (-∞; -4];

2) √0,25^х - 3 • 0,5^х + 2 > 2 - 0,5^x
ОДЗ:
0,25^х - 3 • 0,5^х + 2 ≥ 0
0,5^2x - 3 • 0,5^x + 2 ≥ 0
заміна: 0,5^х = t, t > 0
метод інтервалів:
t² - 3t + 2 ≥ 0
Д = 1
t₁ = 2, t₂ = 1

0,5^х = 2      0,5^х = 1
(1/2)^х = 2   0,5^х = 0,5⁰
2^-х = 2        х = 0
-х = 2         х є (-∞; -2) U (0; +∞)
х = -2
(√0,25^х - 3 • 0,5^х + 2)² > (2 - 0,5^x)²
0,5^2х - 3 • 0,5^х + 2 > 4 - 4 • 0,5^x + 0,5^2x
-3 • 0,5^x + 4 • 0,5^x > 4 - 2
0,5^x > 2
0,5^x > 0,5^-1
функція у = 0,5^t спадна, =>
x < 1

х є (-∞; -1) U [0; +∞).