Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.37

Розв'яжіть нерівність:
1) 3 • 4^х - 5 • 6^х + 2 • 9^х ≤ 0;
2) 9^х+1 - 34 • 15^х + 25^х+1 > 0.

Відповідь:

1) 3 • 4^х - 5 • 6^х + 2 • 9^х ≤ 0
6^х = 2^х • 3^x
3 • 2^2х - 5 • 2^х • 3^х + 2 • 3^2х ≤ 0
(3•2^2х)/3^2х - (5•2^х•3^х)/3^2х + (2•3^2х)/3^2х < 0    : 3^2х
3^2х ≠ 0
3 • (2/3)^2х - 5 • (2/3)^х + 2 ≤ 0
(2/3)^х = t, t > 0
3t² - 5t + 2 ≤ 0
Д = (-5)² - 4 • 2 • 3 = 1
t_1;2 = (5±1)/6, t₁ = 1, t₂ = 2/3
2/3 ≤ t ≤ 1
(2/3)^х ≥ 2/3
у = (2/3)^t є спадною, =>
x ≤ 1
(2/3)^x ≤ 1
(2/3)^x ≤ (2/3)⁰
x ≥ 0

х є [0; 1];
 

2) 9^х+1 - 34 • 15^х + 25^х+1 > 0
15^х = 3^х • 5^х
3^2х • 9 - 34 • 3^х • 5^х + 5^2х • 25 > 0    : 5^2х
(3^2х•9)/5^2х - (34•3^х•5^х)/5^2х + (5^2х•25)/5^2х > 0
5^2х ≠ 0
(3/5)^2х • 9 - 34 • (3/5)^х + 25 > 0
заміна: (3/5)^х = t, t > 0
9t² - 34t + 25 > 0
Д = (-34)² - 4 • 25 • 9 = 1156 - 900 = 256
t_1;2 = (34±16)/18, t₁ = 25/9, t₂ = 1
(3/5)^х = t₁          (3/5)^х = t₂
(3/5)^х = 25/9      (3/5)^х = 1
(3/5)^х = (5/3)²    (3/5)^х = (3/5)⁰
(3/5)^х = (3/5)^-2   х = 0
х = -2

х є (-∞; -2) U (0; +∞).