Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.26

Розв'яжіть нерівність:
1) 5^2х + 4 • 5^х - 5 > 0;
2) 0,2^2х - 1,2 • 0,2^х + 0,2 ≥ 0;
3) 4х - 6 • 2^х + 8 ≤ 0;
4) (1/9)^х - 4 • (1/3)^х + 3 < 0;
5) 3^х-1 - 4 • 3^0,5х-1 + 1 ≥ 0;
6) 4^0,5-х - 7 • 2^-х - 4 < 0.

Відповідь:

1) 5^2х + 4 • 5^х - 5 > 0
заміна:
5^х = t, t > 0
 t² + 4t - 5 > 0
{
 t > 0
t² + 4t - 5 > 0
Д = 4² - 4 • (-5) = 36
t_1;2 = (-4±6)/2
t₁ = 1, t₂ = -5
у = 5^х функція зростаюча, =>
5^x > 1
5^x > 5⁰
x > 0

х є (0; +∞);

2) 0,2^2х - 1,2 • 0,2^х + 0,2 ≥ 0
заміна:
0,2^x = t, t > 0
 t² - 1,2 • t + 0,2 ≥ 0
{
 t > 0
t² - 1,2t + 0,2 ≥ 0
Д = (-1,2)² - 4 • 0,2 = 1,44 - 0,8 = 0,64
t_1;2 = (1,2±0,8)/2
t₁ = 1, t₂ = 0,2
0,2 < t < 1
функція у = 0,2^t є спадною
0,2 < 0,2^х < 1
0,2^x > 0,2         0,2^x < 1
x < 1                 x > 0

х є (0; 1);

3) 4х - 6 • 2^х + 8 ≤ 0
4x ≤ 6 • 2^x - 8

y = 4x

y = 6 • 2^x - 8

точка перетину (1; 4)
единий розв'язок, друга точка перетину не підходить під ОДЗ
х > 1;

4) (1/9)^х - 4 • (1/3)^х + 3 < 0
заміна:
(1/3)^х = t, t > 0
 t² - 4t + 3 < 0
{
 t < 0
t² - 4t + 3 < 0
Д = (-4)² - 4 • 3 = 4
t_1;2 = (4±2)/2
t₁ = 3, t₂ = 1
1 < t < 3
1 < (1/3)^х < 3
функція у = (1/3)^t є спадною
(1/3)^х > 1            (1/3)^x > 3
(1/3)^x > (1/3)⁰     (1/3)^x < (1/3)^-1
x < 0                   x > 1

х є (-1; 0);

5) 3^х-1 - 4 • 3^0,5х-1 + 1 ≥ 0
3^x • 3^-1 - 4 • 3^0,5x • 3^-1 ≥ 0
3^x • 1/3 - 4 • 3^0,5x • 1/3 + 1 ≥ 0
3^x - 4 • 3^0,5x + 3 ≥ 0
заміна:
3^0,5х = t
t² - 4t + 3 ≥ 0
Д = (-4)² - 4 • 3 = 4
t_1;2 = (4±2)/2
t₁ = 3, t₂ = 1
1 ≤ t ≤ 3
функція у = 3^t - є зростаючою
1 ≤ 3^0,5x ≤ 3
3^0,5x ≥ 1       3^0,5x ≤ 3
3^0,5x ≥ 3⁰     0,5 ≤ 1
0,5x ≥ 0       x ≤ 1/0,5
x ≥ 0            x ≤ 2

х є [0; 2];

6) 4^0,5-х - 7 • 2^-х - 4 < 0
4^0,5 • 4^-х - 7 • 2^-х - 4 < 0
заміна:
4^-х = t
4^0,5 • t - 7 • t - 4 < 0
4^1/2t - 7t - 4 < 0
√4t - 7 • t < 0
2t - 7t - 4 < 0
-7t - 4 < 0
-7t < 4 • (-1)
t > -4/7
4-x > -4/7
х є R.