Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.34

Розв'яжіть нерівність:
1) 5^х+1 - 2 • 5^х > 3^x+2 - 2 • 3^x-1;
2) 2^2x+1 - 3^2x+1 ≤ 3^2х - 7 • 2^2x.

Відповідь:

1) 5^х+1 - 2 • 5^х > 3^x+2 - 2 • 3^x-1
5^x • 5 - 2 • 5^x > 3^x • 3² - 2 • 3^x • 3^-1
5^x(5 - 2) > 3^x(3² - 2 • 3^-1)
5^x • 3 > 3^x • (9 - 2/3)
5^x • 3 > 3^x • 8 1/3
5^x • 3 > 3^x • 25/3
5^x • 9 > 3^x • 25    : 3^х • 25
(5^х • 9)/(3^х • 25) > 1
(5/3)^x • (3/5)² > 1
(5/3)^x • (5/3)^-2 > 1
y = (5/3)^t - функція зростаюча, =>
(5/3)^x-2 > (5/3)⁰
x - 2 > 0
x > 2

х є (2; +∞);
 

2) 2^2x+1 - 3^2x+1 ≤ 3^2x - 7 • 2^2x
2^2x+1 + 7 • 2^2x ≤ 3^2x + 3^2x+1
2^2x • 2 + 7 • 2^2x ≤ 3^2x + 3^2x • 3
2^2x • (2 + 7) ≤ 3^2x • (1 + 3)
2^2x • 9 ≤ 3^2x • 4    : 32х • 4
(2^2x • 9/3^2x • 4) ≤ 1
(2/3)^2x • (2/3)^-2 ≤ 1
(2/3)^2x-2 ≤ 1
функція у = (2/3)^t є спадною, =>
2x - 2 ≥ 0
2x ≥ 2
x ≥ 1

х є [1; +∞).