Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.43

Знайдіть множину розв'язків нерівності:
1) (х² + 4х + 4)/(3^х - 27) ≥ 0;
2) (25 - 0,2^х)/(4х² - 4х + 1) ≥ 0;
3) (1/27 - 3^х+2)(5^3-2х - 0,2) ≤ 0;
4) 2^х+2 + 2х² ≤ x² • 2^x + 8.

Відповідь:

1) (х² + 4х + 4)/(3^х - 27) ≥ 0
ОДЗ:
3^х - 27 ≠ 0
3^х ≠ 3³
х ≠ 3
х² + 4х + 4 ≥ 0
(x + 2)² ≥ 0
x + 2 ≥ 0
x ≥ -2

х є [-2; 3) U (3; +∞);

2) (25 - 0,2^х)/(4х² - 4х + 1) ≥ 0
ОДЗ:
4х² - 4х + 1 ≠ 0
(2х - 1)² ≠ 0
2х - 1 ≠ 0
2х ≠ 1
х ≠ 0,5
25 - 0,2^х ≥ 0
-0,2^x ≥ -25    • (-1)
0,2^x ≤ 5²
5^-x ≤ 5²
-x ≤ 2    • (-1)
x ≥ -2

х є [-2; 0,5) U (0,5; +∞);

3) (1/27 - 3^х+2)(5^3-2х - 0,2) ≤ 0
метод інтервалів:
1/27 - 3^х+2 ≤ 0             5^3-2x - 0,2 ≤ 0
-3^x+2 ≤ -1/27    • (-1)    5^3-2x ≤ 0,2
3^x+2 > 3^-3                     5^3-2x ≤ 1/5
x + 2 ≥ -3                    5^3-2x ≤ 5^-1
x ≥ -3 - 2                     3 - 2x ≤ -1   
x ≥ -5                          -2x ≤ -1 - 3
                                   -2x ≤ -4    • (-1)
                                   x ≥ 2

х є (-∞; -5] U [2; +∞);

4) 2^х+2 + 2х² ≤ x² • 2^x + 8
2^x+2 + 2x² - x² • 2^x - 8 ≤ 0
2^x • 2² + 2 • x² - x² • 2^x - 8 ≤ 0
(4 • 2^x - 8) + (2x² - x² • 2^x) ≤ 0
4 • (2^x - 2) + x²(2 - 2^x) ≤ 0
4 • (2^x - 2) - x²(2^x - 2) ≤ 0
(2^x - 2)(4 - x²) ≤ 0
метод інтервалів.
нулі функції:
2^х - 2 = 0    4 - х² = 0
2^х = 2         х² = 4
х = 1          х₁ = -2, х₂ = 2

х є [-2; 1] U [2; +∞).