Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.19

Знайдіть область визначення функції:
1) у = √4^х - 2^х+5; 2) у = √(1/4)^2х-3 - (1/8)^х.

Відповідь:

1) у = √4^х - 2^х+5
ОВФ:
4^х - 2^х+5 ≥ 0
2^2х - 2^х • 2⁵ ≥ 0
заміна: 2^х = t, t > 0
функція у = 2^х є зростаючою, =>
t² - 32t ≥ 0
t(t - 32) ≥ 0
нулі функції: t₁ = 0, t₂ = 32
2^х = 0     2^х ≥ 32
Ø            2^х ≥ 2⁵
               х ≥ 5

х є [5; +∞);

2) у = √(1/4)^2х-3 - (1/8)^х
ОВФ:
(1/4)^2х-3 - (1/8)^х ≥ 0
(1/2)^2(2х-3) - (1/2)^3х ≥ 0
(1/2)^4х-6 - (1/2)^3х ≥ 0
(1/2)^4х • (1/2)^-6 - (1/2)^3х ≥ 0
(1/2)^4х • (1/2)⁶ - (1/2)^3х ≥ 0
заміна:
(1/2)^х = t, t > 0
32t⁴ - t³ ≥ 0
t³(32t - 1) ≥ 0
нулі функції: t₁ = 0, t₂ = 1/32
(1/2)^х < 0     (1/2)^х ≤ 1/32
Ø                 (1/2)^х ≤ (1/2)⁵
                    х < 5
функція у = (1/2)^t спадною

х є (-∞; 5).