Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.18

Розв'яжіть нерівність:
1) (sinπ/6)^2,5-х ≥ 2; 2) 4^0,5х2-3 < 8; 3) (1/3)^х2-х > 1/9; 4) (1/7)^|х|-3 ≤ 7.

Відповідь:

1) (sinπ/6)^2,5-х > 2
sinπ/6 = 1/2
(1/2)^2,5-х > (1/2)^-1
функція у = (1/2)_t є спадною, =>
2,5 - х ≤ -1
-х ≤ -1 - 2,5
-х ≤ 3,5   • (-1)
х ≥ 3,5

х є [3,5; +∞);

2) 4^0,5х2-3 < 8
2^2(0,5х2-3) < 2³
функція у = 2^t є зростаючою, =>
2(0,5х² - 3) < 3
х² - 6 < 3
х² < 9
|х| < 3
нулі функції: х₁ = 3, х₂ = -3

х є [-3; 3];

3) (1/3)^х2-х > 1/9
(1/3)^х2-х > (1/3)²
функція у = (1/3)^t є спадною, =>
х² - х < 2
х² - х - 2 < 0
Д = (-1)² - 4 • (-2) = 9
х_1;2 = (1±3)/2
нулі функції: х₁ = 2, х₂ = -1

х є (-1; 2);

4) (1/7)^|х|-3 ≤ 7
(1/7)^|х|-3 ≤ (1/7)^-1
функція у = (1/7)^t є спадною, =>
|х| - 3 ≥ -1
х - 3 ≥ -1      -х - 3 ≥ -1
х ≥ -1 + 3     -х ≥ -1 + 3
х ≥ 2            -х ≥ 2   • (-1)
                           х ≤ -2

х є (-∞; -2] U [2; +∞).