Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.41

Знайдіть область визначення функції:
1) у = √(0,04 - 5^х)/(х² - 25);
2) у = √(9^х + 8 • 3^х-1 - 1)/(х² - 3х).

Відповідь:

1) у = √(0,04 - 5^х)/(х² - 25)
ОВФ - ?
(0,04 - 5^х)/(х² - 25) ≥ 0
  0,04 - 5^х ≥ 0
{
  x² - 25 > 0
  -5^x ≥ -0,04
{
  x² > 25
  -5^x ≥ -1/25
{
  x² > 25
  -5^x ≥ -5^-2    • (-1)
{
  x² > 25
нулі функції:
  x ≤ -2
{
  x₁ = -5; х₂ = 5

х є (-∞; -5) U [-2; +5);
 

2) у = √(9^х + 8 • 3^х-1 - 1)/(х² - 3х)
ОВФ - ?
(9^х + 8 • 3^х-1 - 1)/(х² - 3х) ≥ 0
  9^х + 8 • 3^х-1 - 1 ≥ 0
{
  х² - 3х > 0
9^х + 8 • 3^х-1 - 1 ≥ 0              x² - 3x > 0
3^2x + 8 • 3^х • 3^-1 - 1 ≥ 0       нулі функції:
3^2х + 8 • 3^х • 1/3 - 1 ≥ 0       x² - 3x = 0
3 • 3^2х + 8 • 3^х - 3 ≥ 0          х(х - 3) = 0, 
                                            x₁ = 0, x - 3 = 0, x₂ = 3
заміна: 3^х = t, t > 0 
3t² + 8t - 3 ≥ 0
Д = 8² - 4 • 3 • (-3) = 64 + 36 = 100
t_1;2 = (-8±10)/6, t₁ = -3 не підходить, t₂ = 1/3
3^х = 1/3
3^х = 3^-1
х = -1

х є [-1; 0) U (3; +∞).