Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.46

Знайдіть множину розв'язків нерівності:
1) 3^√х - 3^1-√х > 2; 2) 4/(5^х + 3) ≥ 5^x.

Відповідь:

1) 3^√х - 3^1-√х > 2
ОДЗ: х ≥ 0
3^√х - 3/3^√х - 2 > 0
заміна: 3^√х = t, t > 0
t - 3/t - 2 > 0
t² - 2t - 3 > 0
Д = (-2)² - 4 • (-3) = 16
t_1;2 = (2±4)/2, t₁ = 3; -1 не підходить
0 ≤ t ≤ 3
3^√х ≤ 3
√х ≤ 1
x ≤ 1

х є (-∞; 0) U (1; +∞);

2) 4/(5^х + 3) ≥ 5^x
ОДЗ: 5^х + 3 > 0    5^x > -3
                             x є R
заміна:
5^х = t, t > 0
4/(t + 3) - t ≥ 0
4 - t² - 3t ≥ 0
-t² - 3t + 4 ≥ 0
Д = (-3)² - 4 • 4 • (-1) = 25
t_1;2 = (3±5)/-2, t₁ = -4, t₂ = 1
                        -4 ≤ t ≤ 1
5^x ≤ 1
5^x ≤ 5⁰
x ≤ 0

х є (-∞; 0].