Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.20

Знайдіть область визначення функції:
1) у = √3^х+7 - 9^х; 2) у = √(1/125)^х - (1/25)^2х-5.

Відповідь:

1) у = √3^х+7 - 9^х
ОВФ:
3^х+7 - 9^х ≥ 0
3^х • 3⁷ - 3^2х ≥ 0
заміна: 3^х = t, t > 0
3⁷ • t - t² ≥ 0
t(3⁷ - t) ≥ 0
нулі функції:
t₁ ≥ 0; -t₂ ≥ -3⁷ • (1), t₂ ≤ 3⁷
функція 3^х є зростаючою, =>
3^х ≥ 0     3^х ≤ 3⁷
x є R      х ≤ 7

х є (-∞; 7);

2) у = √(1/125)^х - (1/25)^2х-5
ОВФ:
(1/125)^х - (1/25)^2х-5 ≥ 0
(1/5)^3х - (1/5)^2(2х-5) ≥ 0
(1/5)^3х - (1/5)^4х-10 ≥ 0
(1/5)^3х - (1/5)^4х • (1/5)^-10 ≥ 0
(1/5)^3х - (1/5)^4х • (5/1)¹⁰ ≥ 0
заміна: (1/5)^x = t, t > 0
t³ - t⁴ • 5¹⁰ ≥ 0
t³(1 - 5¹⁰ • t) ≥ 0
t ≥ 0     -5¹⁰ • t + 1 ≥ 0   • (-1)
            5¹⁰t ≤ 1
            t = 1/5¹⁰
у = (1/5)^t функція є спадна
(1/5)^х ≤ 0     (1/5)^х ≥ (1/5¹⁰)
Ø                 х ≥ 10

х є [10; +∞].