Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.36

Розв'яжіть нерівність:
1) 0,4^√х+4 > 0,4^√х2+3х+4;
2) 4^√х-1 > 2^x.

Відповідь:

1) 0,4^√х+4 > 0,4^√х2+3х+4
ОДЗ:
 х + 4 ≥ 0           х ≥ -4
{
 х² + 3х + 4 ≥ 0
Д = 3² - 4 • 4 = 9 - 16 < 0 => х є R
у = 0,4^t є спадною, =>
√х + 4 < √х² + 3х + 4
(√х + 4)² < (√х² + 3х + 4)²
|х + 4| < |х² + 3х + 4|
х + 4 - х² - 3х - 4 < 0
-х² - 2х < 0    • (-1)
х² + 2х > 0
методом інтервалів:
х(х + 2) = 0
х₁ = 0, х + 2 = 0, х₂ = -2

х є [-4; -2) U (0; +∞);
 

2) 4^√х-1 ≥ 2^x
ОДЗ:
√х - 1
х - 1 ≥ 0
х ≥ 1
2^{2√х - 1} ≥ 2^х
2√х - 1 ≥ х
(2√х - 1)² ≥ х²
4(х - 1) ≥ х²
знаходимо нулі функції:
-х² + 4х - 4 ≥ 0    • (-1)
х² - 4х + 4 ≤ 0
(х - 2)² ≤ 0
х - 2 ≤ 0
х ≤ 2

х є [1; 2].