Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.48

Розв'яжіть нерівність:
1) √2^х - 3 ≥ 3 - 2^0,5х; 2) √4^х - 3 • 2^х + 2 > 2 - 2^x.

Відповідь:

1) √2^х - 3 ≥ 3 - 2^0,5х
ОДЗ:
2^х - 3 ≥ 0
x ≥ 2
(√2^х - 3)² ≥ (3 - 2^0,5x)²
|2^x - 3| ≥ 3² - 2 • 3 • 2^0,5x + 2^0,5x•2
2^x - 3 - 9 + 6 • 2^0,5x - 2^x ≥ 0
6 • 2^0,5x - 12 ≥ 0
6 • 2^0,5x ≥ 12
2^0,5x ≥ 2
0,5x ≥ 1
x ≥ 2

х є [2; +∞);

2) √4^х - 3 • 2^х + 2 > 2 - 2^x
ОДЗ:
4^x - 3 • 2^x + 2 ≥ 0
2^2x - 3 • 2^x + 2 ≥ 0
заміна: 2^х = t
t² - 3t + 2 ≥ 0 метод інтервалів
Д = (-3)² - 4 • 2 = 1
t_1;2 = (3±1)/2, t₁ = 2, t₂ = 1
2^х = 2    2^х = 1
х = 1     х = 0

х є (-∞; 0] U [1; +∞)
(√4^х - 3 • 2^х + 2)² > (2 - 2^x)²
4^x - 3 • 2^x + 2 > 2² - 4 • 2^x + 2^2x
2^2x - 3 • 2^x + 2 - 4 + 4 • 2^x - 2^2x > 0
2^x - 2 > 0
2^x > 2
x > 1

х є (1; +∞).