Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 3. Показникові нерівності

Вправа 3.35

Розв'яжіть нерівність:
1) 0,5^√х2-3х+3 < 0,5^√х;
2) 9^х ≤ 27^√х+1.

Відповідь:

1) 0,5^√х2-3х+3 < 0,5^√х
ОДЗ:
√х   х ≥ 0
√х² - 3х + 3
х² - 3х + 3 ≥ 0
Д = (-3)² - 4 • 3 = 9 - 12 < 0 =>
x є R
у = 0,5^t є спадною, =>
√х² - 3х + 3 > √х
(√х² - 3х + 3)² > (√х)²
|х² - 3х + 3| > |х|
х² - 3х + 3 - х > 0
методом інтервалів:
х² - 4х + 3 > 0
Д = (-4)² - 4 • 3 = 16 - 12 = 4
х_1;2 = (4±2)/2, х₁ = 3, х₂ = 1

х є [0; 1) U (3; +∞);
 

2) 9^х ≤ 27^√х+1
3^2х <≤ 3^3√х+1
ОДЗ:
√х + 1   х + 1 ≥ 0
             x ≥ -1
2х ≤ 3√х + 1
(2х)² ≤ (3√х + 1)²
4х² ≤ 9(х + 1)
4х² ≤ 9х + 9
4х² - 9х - 9 ≤ 0
методом інтервалів:
4х² - 9х - 9 ≤ 0
нулі функції:
Д = (-9)² - 4 • 4 • (-9) = 81 + 144 = 225
х_1;2 = (9±15)/8, х₁ = 3, х₂ = 3/4

х є [3/4; 3].