Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 2. Показникові рівняння

Вправа 2.17

Розв'яжіть рівняння:
1) 16^-х = 32; 2) (5^х-2)^х-5 = 1;
3) (4^х-4)^х-2 = 1/4; 4) (4/5)^х • (3/2)^х = 6/5;
5) 2^х+2 • 3^х+2 = 2^3х • 3^3х; 6) 3^х/5^х = 3^2х+1/5^2х+1.

Відповідь:

1) 16^-х = 32;
(2⁴)^-х = 2⁵;
2^-4х = 2⁵;
-4х = 5;
х = -5/4;
х = -1,25;

2) (5^х-2)^х-5 = 1;
(5^х-2)^х-5 = 5⁰;
(х - 2)(х - 5) = 0;
х² - 5х - 2х + 10 = 0;
х² - 7х + 10 = 0;
Д = (-7)² - 4 • 10 • 1 = 49 - 40 = 9;
х_1;2 = (7±3)/2 = 5; 2
х₁ = 5, х₂ = 2;

3) (4^х-4)^х-2 = 1/4;
(4^х-4)^х-2 = 2^-2;
(2^2(х-4))^х-2 = 2^-2;
2(х - 4)(х - 2) = -2(: 2);
(х - 4)(х - 2) = -1;
х² - 2х - 4х + 8 + 1 = 0;
х² - 6х + 9 = 0;
(х - 3)² = 0;
х - 3 = 0;
х = 3;

4) (4/5)^х • (3/2)^х = 6/5;
(4/5 • 3/2)^х = 6/5;
(6/5)^х = 6/5;
х = 1;

5) 2^х+2 • 3^х+2 = 2^3х • 3^3х;
(3 • 2)^х+2 = (2 • 3)^3х;
6^х+2 = 6^3х;
х + 2 = 3х;
3х - х = 2;
2х = 2;
х = 1;

6) 3^х/5^х = 3^2х+1/5^2х+1;
(3/5)^х = (3/5)^2х+1;
х = 2х + 1;
2х - х = -1;
х = -1.