Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 2. Показникові рівняння

Вправа 2.31

Розв'яжіть рівняння:
1) 5^|6-4х| = 2,5^3х-4; 2) 9^|3х-1| = 3^8х-2;
3) 7^|х+1| = (√7)^3-2х; 4) 8^√х-1 = √4^х+1.

Відповідь:

1) 5^|6-4х| = 2,5^3х-4;
5^|6-4х| = 5^2(3х-4);
|6 - 4х| = 6х - 8;
6 - 4х = 6х - 8  або  -6 + 4х = 6х - 8;
6х + 4х = 6 + 8         6х - 4х = -6 + 8;
10х = 14                   2х = 2
х = 14/10, х = 1,4;    х = 1;

2) 9^|3х-1| = 3^8х-2;
3^2|3х-1| = 3^8х-2;
2|3х - 1| = 8х - 2;
2(3х - 1) = 8х - 2  або  -2(3х - 1) = 8х - 2;
6х - 2 = 8х - 2               -6х + 2 = 8х - 2;
8х - 6х = 0                     8х + 6х = -2 - 2;
х = 0                              14х = -4; х = -4/14; х = -2/7;

3) 7^|х+1| = (√7)^3-2х;
7^|х+1| = 7^{1/2•(3-2х)};
|х + 1| = 1/2(3 - 2х);
|х + 1| = 1,5 - х;
х + 1 = 1,5 - х;
х + х = 1,5 - 1;
2х = 0,5;
х = 0,25
або
-х - 1 = 1,5 - х;
розв'язків немає
=> х = 0,25;

4) 8^√х-1 = √4^х+1;
ОДЗ: х - 1 ≥ 0; x ≥ 1;
2^3√х-1 = √2^2(х+1);
2^3√х-1 = 2^2(х+1)/2;
3√х+1 = х + 1;
(3 • √х - 1)² = (х + 1)²;
9(х - 1) = (х + 1)²;
9х - 9 = х² + 2х + 1;
х² + 2х - 9х + 9 + 1 = 0;
х² - 7х + 10 = 0;
Д = (-7)² - 4 • 10 • 1 = 9;
х_1;2 = (7±3)/2 = 5; 2
х₁ = 5, х₂ = 2.