Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції

Вправа 2.37

Розв'яжіть рівняння:
1) 2^х - 6 • 2^-х = -1;
2) 2^2х-2 + 5 • 2^х-1 + 4 = 0;
3) (1/5)^х + 5^х+2 = 10;
4) 2 + 1/(4^х - 3) = 4/(4^х + 2).

Відповідь:

1) 2^х - 6 • 2^-х = -1;
2^х - 6/2^х = 2х/-1;
2^2х - 6 + 2^х = 0;
2^2х + 2^х - 6 = 0;
заміна: 2^х = t;
t² + t - 6 = 0;
Д = 25;
t_1;2 = (-1±5)/2;
t₁ = -3; 2
2^х = t₁; 2^x = t₂;
2^х = -3; 2^х = 2;
х є Ø; х = 1;

2) 2^2х-2 + 5 • 2^х-1 + 4 = 0;
2^2х/2² + (5•2^х)/ + 4 = 0;
2^2х/4 + (5•2^х)/2 + 4 = 0;
2^2х + 10 • 2^х + 16 = 0;
заміна: 2^х = t;
t² + 10t + 16 = 0;
Д = 10² - 4 • 16 = 36;
t_1;2 = (-10±6)/2;
t₁ = -8; t₂ = -2;
2^x = t₁; 2^x = t₂;
2^x = -8; 2^x = -2;
х є Ø;

3) (1/5)^х + 5^х+2 = 10;
1/5^х + 5^х • 5² = 10;
1/5^х + 25 • 5^х - 10 = 0;
1 + 25 • 5^2х - 10 • 5^х = 0;
25 • 5^2х - 10 • 5^х + 1 = 0;
заміна: 5^х = t;
25 • t² - 10t + 1 = 0;
Д = (-10)² - 25 • 4 = 0;
t_1;2 = 10/50 = 1/5;
5^х = 1/5;
5^х = 5^-1;
х = -1;

4) 2 + 1/(4^х - 3) = 4/(4^х + 2);
2 • (4^х - 3)(4^х + 2) + 4^х + 2 = 4 • (4^х - 3);
2 • (4^2х + 2 • 4^х - 3 • 4^х - 6) + 4^х + 2 = 4 • 4^х - 3 • 4;
2 • (4^2х - 4^х - 6) + 4^х + 2 = 4 • 4^х - 12;
2 • 4^2х - 2 • 4^х - 12 + 4^х + 2 = 4 • 4^х - 12;
2 • 4^2х - 2 • 4^х + 4^х + 2 - 4 • 4^х = 0;
2 • 4^2х - 5 • 4^х + 2 = 0;
заміна: 4^х = t;
2 • t² - 5 • t + 2 = 0;
Д = (-5)² - 4 • 2 • 2 = 9;
t_1;2 = (5±3)/4 = 2; 1/2
4^х = t₁; 4^х = t₂;
2^2х = 2; 2^2х = 2-1;
2х = 1; 2х = -1;
х = 1/2; х = -1/2.