Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції

Вправа 2.18

Розв'яжіть рівняння:
1) 9^-х = 81; 2) (4^х+3)^х-2 = 1;
3) (2^х-6)^х-3 = 1/4; 4) (2/3)^х • (27/8)^х = 9/4;
5) 7^х-1 • 2^х-1 = 2^5х • 7^5х; 6) 6^х-1/2^х-1 = 6^2х/2^2-х.

Відповідь:

1) 9^-х = 81;
9^-х = 9²;
-х = 2;
х = -2;

2) (4^х+3)^х-2 = 1;
(4^х+3)^х-2 = 4⁰;
(х + 3)(х - 2) = 0;
х² - 2х + 3х - 6 = 0;
х² + х - 6 = 0;
Д = 25; х_1;2 = (-1±5)/2 = -3; 2
х₁ = -3; х₂ = 2;

3) (2^х-6)^х-3 = 1/4;
(2^х-6)^х-3 = 2^-2;
(х - 6)(х - 3) = -2;
х² - 3х - 6х + 18 = -2;
х² - 9х + 18 + 2 = 0;
х² - 9х + 20 = 0;
Д = (-9)² - 4 • 20 = 1;
х_1;2 = (9±1)/2 = 5; 4
х₁ = 5, х₂ = 4;

4) (2/3)^х • (27/8)^х = 9/4;
(2/3 • 27/8)х = 9/4;
(9/4)^х = 9/4;
х = 1;

5) 7^х-1 • 2^х-1 = 2^5х • 7^5х;
(7 • 2)^х-1 = (2 • 7)^5х;
14^х-1 = 14^5х;
х - 1 = 5х;
5х - х = -1;
4х = -1;
х = -1/4;

6) 6^х-1/2^х-1 = 6^2х/2^2-х;
(6/2)^х-1 = (6/2)^2-х;
3^х-1 = 3^2-х;
х - 1 = 2 - х;
х + х = 2 + 1;
2х = 3;
х = 1,5.