Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 2. Показникові рівняння

Вправа 2.44

Розв'яжіть рівняння:
1) 2^cos2x - 1/(2•2^cos2x) = 0;
2) 2^tg2x - 4/2^tg2x = 0;
3) 4^sinx + 2^5-2sinx = 18;
4) 9^cosx-1 + 3^2-cosх = 4.

Відповідь:

1) 2^cos2x - 1/(2•2^cos2x) = 0;
2 • 2^cos2x • 2^cos2x - 1 = 0;
2 • 2^2cos2x = 1;
2^2cos2x = 1/2;
2^2cos2x = 2-1;
2cos2x = -1;
cos2x = -1/2;
2х = ±2π/3 + 2kπ, k є z;
х = ±2π/6 + 2kπ/2, k є z;
х = ±π/3 + kπ, k є z;

2) 2^tg2x - 4/2^tg2x = 0;
2^tg2x • 2^tg2x - 4 = 0;
2^2tg2x = 4;
2^2tg2x = 2²;
2tg2x = 2;
tg2x = 1;
2х = π/4 + kπ, k є z;
х = π/8 + kπ/2, k є z;

3) 4^sinx + 2^5-2sinx = 18;
2^2sinx + 2⁵/2^2sinx - 18 = 0;
2^2sinx • 2^2sinx + 32 - 18 • 2^2sinx = 0;
2^4sinx - 18 • 2^2sinx + 32 = 0;
заміна: 2^2sinx = t, t > 0;
t² - 18t + 32 = 0;
Д = (-18)² - 4 • 32 = 324 - 128 = 196;
t_1;2 = (18±14)/2;
t₁ = 16; t₂ = 2;
2^2sinx = t₁  або 2^2sinx = t₂;
2^2sinx = 16;       2^2sinx = 2;
2^2sinx = 2⁴;       2sinx = 1;
2sinx = 4;         sinx = 1/2;
sinx = 2;           х = (-1)^kπ/6 + πk, k є z;
Ø;

4) 9^cosx-1 + 3^2-cosх = 4;
9^cosх/9 + 3²/3^cosх = 4;
3^cosх • 9^cosх + 9 • 3² = 4 • 9 • 3^cosх;
3^cosх • 3^2cosх + 81 - 36 • 3^cosх = 0;
3^3cosх - 36 • 3^cosх + 81 = 0;
заміна: 3^cosх = t, t > 0;
t³ - 36t + 81 = 0;
t³ - 9t - 27t + 81 = 0;
t(t² - 9) - 27(t - 3) = 0;
t(t - 3)(t + 3) - 27(t - 3) = 0;
(t - 3)(t(t + 3) - 27) = 0;
t - 3 = 0; t(t + 3) - 27 = 0;
t₁ = 3;           t² + 3t - 27 = 0;
                    Д = 3² - 4 • (-27) = 9 + 108 = 117;
                    t_1;2 = (-3±√117)/2, t₃ ≈ 3,9, t₂ ≈ 6,9;
3^cosх = t₁;     3^cosх ≈ 3,9, 3^cosх ≈ 6,9,
3^cosх = 3;      t > 3 => Ø
cosх = 1;
х = 2πk, k є z.