Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 2. Показникові рівняння

Вправа 2.30

Розв'яжіть рівняння:
1) (⁴√2/√3)^х2+4 = 20,25^х+1;
2) 2 • √2^14х-9 = ⁶√8 • 2^6х-12;
3) (1/27)^4х2/3 = 81^х • 3^-8;
4) (0,2^√х+1)^√х+6 = 1/56.

Відповідь:

1) (⁴√2/√3)^х2+4 = 20,25^х+1
20,25 = 20 1/4 = 81/4 = 3⁴/2²
(2^1/4)^х2+4/(3^1/2)^х2+4 = (3⁴/2²)^х+1
(2^1/4•х2+1)/(3^х2/2+2) = (3^4х+4)/(2^2х+2)
2^х2/4+1 • 2^2х+2 = 3^х2/2+2 • 3^4х+4
2^{х2/4+1+2х+2} = 3^{х2/2+2+4х+4}
2^х2/4+2х+3 = 3^х2/2+4х+6
2^х2+8х+12 = 3^х2+8х+12    : 3^х2+8х+12
(2/3)^х2+8х+12 = 1
(2/3)^х2+8х+12 = (2/3)⁰
х² + 8х + 12 = 0
Д = 8² - 4 • 12 = 64 - 48 = 16
х_1;2 = (-8±4)/2
х₁ = -6, х₂ = -2;

2) 2 • √2^14х-9 = 6√8 • 2^6х-12;
2 • 2^(14х-9)/2 = 8^1/6 • 2^(6х-12)/6;
2^1+7х-4,5 = 2^3•1/6 • 2^6х/6-12/6;
2^4х-3,5 = 2^1/2+х-2;
2^7х-3,5 = 2^х-1,5;
7х - 3,5 = х - 1,5;
7х - х = 3,5 - 1,5;
6х = 2;
х = 2/6;
х = 1/3;

3) (1/27)^4х2/3 = 81^х • 3^-8;
3^-3•4х2/3 = 3^4х • 3^-8;
3^-4х2 = 3^4х-8;
-4х² - 4х + 8 = 0  : (-4);
х² + х - 2 = 0;
Д = 1² - 4 • (-2) = 9;
х_1;2 = (-1±3)/2 = -2; 1
х = 1.