Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції

Вправа 2.48

Розв'яжіть рівняння:
1) 25^х + 3 • 10^х - 4 • 4^х = 0;
2) 9 • 4^1/х + 5 • 6^1/х = 4 • 9^1/2.

Відповідь:

1) 25^х + 3 • 10^х - 4 • 4^х = 0;
5^2х + 3 • 2^х • 5^х - 4 • 2^2х = 0   : 5^2х;
5^2х/5^2х + (3•2^х•5^х)/5^2х - 4 • 2^2х/5^2х = 0;
1 + 3 • (2/5)^х - 4 • (2/5)^2х = 0;
заміна: (2/5)^х = t, t > 0;
-4t² + 3t + 1 = 0;
Д = 3² - 4 • 1 • (-4) = 25;
t_1;2 = (-3±5)/-8;
t₁ = 1, t₂ = -1/4 - не підходить;
(2/5)^х = t₁;
(2/5)^х = 1;
(2/5)^х = (2/5)⁰;
х = 0;

2) 9 • 4^1/х + 5 • 6^1/х = 4 • 9^1/х
9 • 2^2/х + 5 • 2^1/х • 3^1/х = 4 • 3^2х   : 3^2/х ≠ 0
(9 • 2^2/х)/(3^2/х) + (5 • 2^1/х • 3^1/х)/(3^2/х) = 4
9 • (2/3)^2/х + 5 • (2/3)^1/х - 4 = 0
заміна: (2/3)^1/х = t, t > 0
9t² + 5t - 4 = 0
Д = 25 - 4 • (-4) • 9 = 169
t_1;2 = (-5±13)/18, t₁ = -1 - не підходить, t2 = 4/9
(2/3)^1/х = 4/9
(2/3)^1/х = (2/3)²
1/х = 2
х = 0,5.