Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції

Вправа 2.57

Розв'яжіть рівняння:
1) √4^х - 3 • 2^х + 2 = 2 - 2^х;
2) √9^х - 3^х+1 + 16 = 4 - 3^х + 3^2х-1.

Відповідь:

1) √4^х - 3 • 2^х + 2 = 2 - 2^х
(√4х - 3 • 2^х + 2)² = (2 - 2^х)²
4^х - 3 • 2^х + 2 = 4 - 4 • 2^х + 2^2х
2^2х - 3 • 2^х + 2 - 4 + 4 • 2^х - 2^2х = 0
2^х - 2 = 0
2^х = 2
х = 1
ОДЗ:
4^х - 3 • 2^х + 2 ≥ 0
2^х = t
t² - 3t + 2 ≥ 0 метод інтервалів:
Д = (-3)² - 4 • 2 = 1
t_1;2 = (3±1)/2 = 2; 1
2^х = t₁    2^х = t₂
2^х = 2    2^х = 1
х = 1     2х = 2⁰
             х = 2

х є (-∞; 1] U [2; +∞)
х = 1 належить ОДЗ;
 

2) √9^х - 3^х+1 + 16 = 4 - 3^х + 3^2х-1
√3^2х - 3^х • 3 + 16 = 4 - 3^х + 3^2х/3
3√3^2х - 3 • 3^х + 12 + 4 = 12 - 3 • 3^х + 3^2х
заміна: 3^2х - 3 • 3^х + 12 = t, t > 0
3 • √t + 4 = t
(3 • √t + 4)² = t²
9 • (t + 4) - t² = 0
9t + 36 - t² = 0
-t² + 9t + 36 = 0
Д = 9² - 4 • 36 • (-1) = 81 + 144 = 225
t_1;2 = (-9±15)/-2
t₁ = 12, t₂ = -3
3^2х - 3 • 3^х + 12 = t₁
3^2х - 3 • 3^х + 12 = 12
3^2х = 3 • 3^х = 0
3^2х = 3 • 3^х
3^2х = 3^х+1
2х = х + 1
2х - х = 1
х = 1.