Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції

Вправа 2.41

Розв'яжіть рівняння:
1) 8^1+х2 - 8^1-х2 = 63;
2) 5^5-2х - 20 • 0,2^3-2х - 5 = 0;
3) (√6)^2х+2 - 37 • (√6)^х + 6 = 0;
4) 3^2х2+х = 26 + 3^3-х-2х2.

Відповідь:

1) 8^1+х2 - 8^1-х2 = 63
8 • 8^х2 - 8/8^х2 - 63 = 0
8 • 8^2х2 - 63 • 8^х2 - 8 = 0
нехай: 8^х2 = t, t > 0
8t² - 63t - 8 = 0
Д = (-63)² - 8 • 4 • (-8) = 3969 + 256 = 4225
√Д = 65
t_1;2 = (63±65)/16, t₁ = 8, t₂ = -1/8
8^х2 = t₁      8^х2 = t₂
8^х2 = 8      8^х2 = 1/8
х² = 1        х є Ø
х = ±1;
 

2) 5^5-2х - 20 • 0,2^3-2х - 5 = 0
5⁵ • 5^-2х - 20 • 0,2³ • 5^-2х - 5 = 0
5^-2х • (5⁵ - 20 • 0,008) = 5
5^-2х • 3124,84 = 5
5^-2х = 5 : 3124,84
5^-2х = 0,0016
1/5^2х = 0,0016
5^2х = 1/0,0016
5^2х = 625
5^2х = 5⁴
2х = 4
х = 2;

3) (√6)^2х+2 - 37 • (√6)^х + 6 = 0;
(√6)^2х • (√6)² - 37 • (√6)^х + 6 = 0;
6(√6)^2х - 37(√6)^х + 6 = 0;
заміна: (√6)^2х = t², (√6)^х = t, t > 0;
6t² - 37t + 6 = 0
Д = (-37)² - 4 • 6 • 6 = 1369 - 144 = 1225;
t_1;2 = (37±35)/12;
t₁ = 6; t₂ = 1/6;
(√6)^х = t₁; (√6)^х = t₂;
(√6)^х = 6; (√6)^х = 1/6;
6^х/2 = 6; (√6)^х = 6^-1;
х/2 = 1; 6^х/2 = -1;
х = 2; х/2 = -1; х = -2;

4) 3^2х2+х = 26 + 3^3-х-2х2;
3^2х+х = 26 + 3³ • 3^-(х+2х2);
3^2х+х = 26 + 27/(3^2х+х);
3^{(2х2+х)•2} = 26 • 3^2х2+х + 27;
3^{2•(2х2+х)} - 26 • 3^2х2+х - 27 = 0;
заміна: 3^2х2+х = t, t > 0;
t² - 26t - 27 = 0
Д = (-26)² - 4 • (-27) = 676 + 108 = 784;
t_1;2 = (26±28)/2;
t₁ = 27; t₂ = -1 - не підходить;
3^2х2+х = t₁;
3^2х2+х = 27;
3^2х2+х = 3³;
2х² + х = 3;
2х² + х - 3 = 0;
Д = 1 - 4 • (-3) • 2 = 25;
х_1;2 = (-1±5)/4;
х₁ = -1, х₂ = -1,5.