Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції

Вправа 2.51

Розв'яжіть рівняння:
1) √4² + 2^х - 11 = √2^х + 5;
2) 0,16^{х-√3х-2-1} - 3,75 • 0,4^х-√3х-2 = 2,5.

Відповідь:

1) √4² + 2^х - 11 = √2^х + 5;
(√4² + 2^х - 11)² = (√2^х + 5)²;
4² + 2^х - 11 = 2^х + 5;
16 - 11 = -5;
5 = 5;
ОДЗ: 2^х + 5 ≥ 0, 2x ≥ -5, x є R;

2) 0,16^{х-√3х-2-1} - 3,75 • 0,4^х-√3х-2 = 2,5;
(0,16^х-√3х-2)/0,16 - 3,75 • 0,4^х-√3х-2 = 2,5;
0,16^х-√3х-2 - 0,6 • 0,4^х-√3х-2 = 0,4;
заміна: 0,4^х-√3х-2 = t, t > 0;
t² - 0,6t - 0,4 = 0;
Д = (-0,6)² - 4 • (-0,4) = 0,36 + 1,6 = 1,96;
t_1;2 = (0,6±1,4)/2;
t₁ = 1, t₂ = 0,4;
0,4^х-√3х-2 = t₁;             0,4^х-√3х-2 = 0,4;
0,4^х-√3х-2 = 1;              х - √3х-2 = 1;
х - √3-2 = 0;               √3х-2 = х - 1;
√3х-2 = х;                  (√3х-2)² = (х - 1)²;
(√3х-2)² = х²;
3х - 2 = х²;                 3х - 2 = х² - 2х + 1;
х² - 3х + 2 = 0;           х² - 2х - 3х + 2 + 1 = 0;
Д = (-3)² - 4 • 2 = 1;   х² - 5х + 3 = 0;
х_1;2 = (3±1)/2;            Д = (-5)² - 4 • 3 = 25 - 12 = 13;
х₁ = 2, х₂ = 1;            х_1;2 = (5±√13)/2.