Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 2. Показникові рівняння

Вправа 2.55

Розв'яжіть рівняння:
1) (2 - √3)^х + (2 + √3)^х = 4;
2) 4(√5 - 2)^х-10 = (2/√5 + 2)^х-10;
3) (2√2 + 3)^х + (2√2 - 3)^х = 34.

Відповідь:

1) (2 - √3)^х + (2 + √3)^х = 4
(2 - √3)(2 + √3) = 4 - 3 = 1 =>
2 - √3 = 1/(2 + √3)
нехай: (2 - √3)^х = t, t > 0
t + 1/t - 4 = 0
t² - 4t + 1 = 0
Д = (-4)² - 4 = 12
t_1;2 = (4±√12)/2
t_1;2 = (2(2±√3)/2
t₁ = 2 - √3, t₂ = 2 + √3
(2 - √3)^х = 2 - √3      (2 - √3)^х = 2 + √3
х = 1                         х = -1;
 

2) 4(√5 - 2)^х-10 = (2/√5 + 2)^х-10
(2^х-10)/((√5 + 2)^х-10 • (√5 - 2)^х-10 • 4) = 1
(2^х-10)/(4((√5 + 2)(√5 - 2)^х-10)) = 1
(2^х-10)/(4 • (5 - 4)^х-10) = 1
(2^х-10)/(4 • 1^х-10) = 1
2^х-10 = 4
2^х-10 = 2²
х - 10 = 2
х = 12;
 

3) (2√2 + 3)^х + (2√2 - 3)^х = 34
(2√2 + 3) • (2√2 - 3) = 8 - 9 = -1
(2√2 + 3) = -1/(3 - 2√2)
-(3 - 2√2) = 1/(2√2 + 3)
нехай: -(3 - 2√2)^х = t, t > 0
-t + 1/t - 34 = 0
-t² - 34t - 1 = 0
t² + 34t + 1 = 0
Д = (-34)² - 4 • (-1) • (-1) = 1152
√1152 = 24√2
t_1;2 = (-34±24√2)/-2 = (-2(17±12√2))/-2
t₁ = 17 - 12√2, t₂ = 17 + 12√2
(-3 - 2√2)^х = 3² - 12√2 + (√8)²
(-3 2√2)^х = (3 - 2√2)²
х = 2
(3 - 2√2)^х = 17 + 12√2
(3 - 2√2)^х = (3 + 2√2)^-2
х = -2.