Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції

Вправа 2.32

Розв'яжіть рівняння:
1) 2^|3х-4| = 4^2х-2;
2) 36^|1-2х| = 64^4-6х;
3) 5^|х-1| = (√5)^2х+3;
4) 2^х • (1/2)^√х+1 = 32.

Відповідь:

1) 2^|3х-4| = 4^2х-2
2^|3х-4| = 2^2(2х-2)
|3х - 4| = 2(2х - 2)
3х - 4 = 4х - 4
4х - 3х = 0
х = 0
або
-3х + 4 = 2(2х - 2)
-3х + 4 = 4х - 4
4х + 3х = 4 + 4
7х = 8
х = 8/7
х₁ = 0; х₂ = 1 1/7;
 

2) 36^|1-2х| = 64^4-6х
32^|1-2х| = 64^4-6х
2^5(1-2х) = 2^6(4-6х)
5|1-2х| = 6(4-6х)
5(1-2х) = 6(4-6х)
5 - 10х = 24 - 36х
-10х + 36х = 24 - 5
26х = 19
х = 19/26
або
-5(1 - 2х) = 6(4 - 6х)
-5 + 10х = 24 - 36х
10х + 36х = 24 + 5
46х = 29
х = 29/46;

3) 5^|х-1| = (√5)^2х+3;
5^|х-1| = 5^1/2(2х+3);
|х - 1| = 0,5(2х + 3);
|х - 1| = х + 1,5;
Ø або
-х + 1 = х + 1,5;
х + х = 1 - 1,5;
2х = -0,5;
х = -0,25;

4) 2^х • (1/2)^√х+1 = 32;
2^х • (2^-1)^√х+1 = 2⁵;
2^х-√х+1 = 2⁵;
х - √х+1 = 5;
х - 5 = √х + 1;
(√х + 1)² = (х - 5)²;
х + 1 = х² - 10х + 25;
х² - 10х - х - 1 + 25 = 0;
х² - 11х + 24 = 0;
Д = (-11)² - 4 • 24 = 121 - 96 = 25;
х_1;2 = (11±5)/2 = 8; 3
х₁ = 8, х₂ = 3.