Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції

Вправа 2.38

Розв'яжіть рівняння:
1) 3^х - 6 • 3^-х = 1;
2) 3^2х+2 - 4 • 3^х+1 + 3 = 0;
3) (1/2)^х + 2^х+3 = 6;
4) 5/(9^х-2) - 3 = 4/(9^х-1).

Відповідь:

1) 3^х - 6 • 3^-х = 1;
3^х - 6/3^х = 1;
3^2х - 6 = 3^х;
3^2х - 3^х - 6 = 0;
заміна: 3^х = t;
t² - t - 6 = 0;
Д = 25;
t_1;2 = (1±5)/2;
t₁ = 3; t₂ = -2;
3^х = t₁; 3^х = -2;
3^х = 3 х є Ø
х = 1;

2) 3^2х+2 - 4 • 3^х+1 + 3 = 0;
3^2х • 3² - 4 • 3^х • 3 + 3 = 0;
9 • 3^2х - 12 • 3^х + 3 = 0   : 3;
3 • 3^2х - 4 • 3^х + 1 = 0;
заміна: 3^х = t;
3t² - 4t + 1 = 0;
Д = (-4)² - 4 • 3 = 4;
t_1;2 = (4±2)/6;
t₁ = 1; t₂ = 1/3;
3^х = 1; 3^х = 1/3;
3^х = 3⁰; 3^х = 3^-1;
х = 0; х = -1;

3) (1/2)^х + 2^х+3 = 6;
1/2^х + 2^х • 2³ = 6;
1 + 8 • 2^2х = 6 • 2^х;
8 • 2^2х - 6 • 2^х + 1 = 0;
заміна: 2^х = t;
8t² - 6t + 1 = 0;
Д = (-6)² - 4 • 8 = 4;
t_1;2 = (6±2)/16;
t₁ = 1/2; t₂ = 1/4;
2^х = 1/2; 2^х = t2;
2^х = 2^-1; 2^х = 2^-2;
х = -1; х = -2;

4) 5/(9^х-2) - 3 = 4/(9^х-1);
5/(9^х-2) - 3 = 4/(9^х-1);
5 • (9^х - 1) - 3(9^х - 2)(9^х - 1) = 4 • (9^х - 2);
5 • 9^х - 5 - 3(9^2х - 9^х - 2 • 9^х + 2) = 4 • 9^х - 8;
5 • 9^х - 5 - 3 • 9^2х + 3 • 9^х + 6 • 9^х - 6 - 4 • 9^х + 8 = 0;
-3 • 9^2х + 10 • 9^х - 3 = 0;
заміна: 9^x = t;
-3t² + 10t - 3 = 0;
Д = 10² - 4 • (-3)(-3) = 64;
t_1;2 = (-10±8)/-6 = 3; 1/3
9^х = t₁; 9^х = t₂;
9^х = 3; 9^х = 1/3;
3^2х = 3; 3^2х = 3^-1;
2х = 1; 2х = -1;
х = 1/2; х = -1/2.