Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 2. Показникові рівняння

Вправа 2.29

Розв'яжіть рівняння:
1) (√10/3)^3х1-3 = 0,81^-2х;
2) ³√0,3 • √0,3^2х-1/3 = ³√0,09^6-3х;
3) (1/4)^(4-х2)/2 = 8х;
4) 5^√13-х2 = √5 • √5⁵.

Відповідь:

1) (√10/3)^3х2-3 = 0,81^-2х;
(√10/3)^3х-3 = (81/100)^-2х;
(√10/3)^3х-3 = (9/10)^2•(-2х);
(√10/3)^3х-3 = (3/√10)^4•(-2);
(√10/3)^3х-3 = (√10/3)^8х;
3х - 3 = 8х;
8х - 3х = -3;
5х = -3;
х = -3/5;
х = -0,6;

2) ³√0,3 • √0,3^2х-1/3 = ³√0,09^6-3х;
(0,3)^1/3 • (0,3)^1/2(2х-1/3) = 0,3^(2(6-3х)/3);
0,3^1/3 • 0,3^{1/2•2х-1/2•1/3} = 0,3^(12-3х)/3;
0,3^1/3+х-1/6 = 0,3^3(4-х)/3;
0,3^1/6+х = 0,3^4-х;
1/6 + х = 4 - х;
х + х = 4 - 1/6;
2х = (24-1)/6;
2х = 23/6;
х = 23/6 : 2;
х = 23/12;
х = 1 11/12;

3) (1/4)^(4-х2)/2 = 8^х;
2^{-2•(4-х2)/2} = 2^3х;
2^-(4-х2) = 2^3х;
-4 + х² = 3х;
х² - 3х - 4 = 0;
Д = (-3)² - 4 • 4 = 25;
х_1;2 = (3±5)/2 = 4; 1
х = -1 - не підходить;

4) 5^√13-х2 = √5 • √5⁵;
5/^1/2(13-х2) = 5^1/2 • 5^5/2;
5^1/2(13-х2) = 5^1/2+5/2;
5^1/2(13-х2) = 5³;
0,5 • (13 - х²) = 3;
6,5 - 0,5х² = 3;
-0,5х² = 3 - 6,5;
-0,5х² = -3,5;
х² = 7;
х = ±√7;
х = √7;
х = -√7 - не підходить.