Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції

Вправа 2.43

Розв'яжіть рівняння:
1) (√3)^tg2х - 3√3/3^tg2х = 0;
2) 2^sin2х - 1/(2•2^sin2х) = 0;
3) 4^2-cosx - 5 • 2^1-cosx + 1 = 0;
4) 9^sinx + 3 • 9^2-sinx = 84.

Відповідь:

1) (√3)^tg2х - 3√3/3^tg2х = 0;
3^tg2х • 3^tg2х/2 - 3√3 = 0;
3^{tg2х+tg2х/2} = 3 • 3^1/2;
3^3tg2х/2 = 3^3/2;
3tg2х/2 = 3/2;
tg2х = 1;
2х = π/4 + kπ, k є z;
х = π/8 + kπ/2, k є z;

2) 2^sin2х - 1/(2•2^sin2х) = 0;
2 • 2^sin2х • 2^sin2х - 1 = 0;
2 • 2^2sin2х = 1;
2^2sin2х = 1/2;
2^2sin2х = 2^-1;
2sin2х = -1;
sin2х = -1/2;
2х = (-1)^k+1 • π/6 + πk, k є z;
x = (-1)^k+1 • π/12 + π/2 • k, k є z;

3) 4^2-cosx - 5 • 2^1-cosx + 1 = 0;
2^2(2-cosx) - 5 • 2^1-cosx + 1 = 0;
2⁴ • 2^-2cosx - 5 • 2 • 2^-cosx + 1 = 0;
заміна: 2^-cosx = t, t > 0;
16t² - 10t + 1 = 0
Д = (-10)² - 4 • 16 = 100 - 64 = 36;
t_1;2 = (10±6)/32;
t₁ = 1/2; t₂ = 1/8;
2^-cosx = t₁; або 2^-cosx = t₂;
2^-cosx = 1/2;      2^-cosx = 1/8;
2^-cosx = 2^-1;      2^-cosx = 2^-3;
-cosx = -1;       -cosx -3;
cosx = 1;          cosx = 3;
х = π/2 + πk;    Ø;

4) 9^sinx + 3 • 9^2-sinx = 84;
9^sinx + (3•9²)/9^sinx - 84 = 0;
9^2sinx + 243 - 84 • 9^sinx = 0;
заміна: 9^sinx = t, t > 0;
t² - 84t + 243 = 0;
Д = (-84)² - 4 • 243 = 7056 - 972 = 6084;
t_1;2 = (84±78)/2;
t₁ = 81, t₂ = 3;
9^sinx = t₁ або  9^sinx = t₂;
9^sinx = 9²;       9^sinx = 3;
sinx = 2;         3^2sinx = 3;
Ø;                   2sinx = 1;
                       sinx = 1/2;
                       х = (-1)^kπ/6 + πk, k є z.