Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 2. Показникові рівняння

Вправа 2.47

Розв'яжіть рівняння:
1) 9^х + 2 • 4^х + 6^х = 0;
2) 5 • 25^1/х + 3 • 10^1/х = 2 • 4^1/х.

Відповідь:

1) 9^х + 2 • 4^х + 6^х = 0;
3^2х + 2 • 2^2х + 2^х • 3^х = 0   : 3^2х;
3^2х/3^2х + 2 • 2^2х/3^2х + 2^х•3^х/3^2х = 0;
1 + 2 • (2/3)^2х + (2/3)^х = 0;
(2/3)^х = t, t > 0;
2t² + t + 1 = 0;
Д = 1 - 4 • 1 • 2 < 0;
коренів немає;

2) 5 • 25^1/х + 3 • 10^1/х = 2 • 4^1/х;
5 • 5^2/х + 3 • 2^1/х • 5^1/х - 2 • 22/х = 0   : 5^2/х;
(5•5^2/х)/5^2х + (3•2^1/х•5^1/х)/5^2х - 2 • 2^2х/5^2х = 0;
5 + 3 • (2/5)^1/х - 2 • (2/5)^2/х = 0;
заміна: (2/5)^1/х = t, t > 0;
-2t² + 3t + 5 = 0
Д = 3² - 4 • (-2) • 5 = 9 + 40 = 49;
t_1;2 = (-3±7)/-4;
t₁ = 10/4, t₂ = -1 - не підходить;
(2/5)^1/х = t₁;
(2/5)^1/х = 5/2;
(2/5)^1/х = (2/5)^-1;
1/х = -1;
х = -1.