Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 2. Показникові рівняння

Вправа 2.42

Розв'яжіть рівняння:
1) 3^2+х2 - 8^2-х2 = 24;
2) 4^1-х - 0,5^1-2х = 1;
3) (√7)^2х+2 - 50 • (√7)^х + 7 = 0;
4) 2^х2+2х-6 = 2^7-2х-х2.

Відповідь:

1) 3^2+х2 - 3^2-х2 = 24
3² • 3^х2 - 3² • 3^-х2 - 24 = 0
9 • 3^х2 - 9/3^х2 - 24 = 0
9 • 3^2х2 - 24 • 3^х2 - 9 = 0    : 3
3 • 3^2х2 - 8 • 3^х2 - 3 = 0
нехай: 3^х2 = t, t > 0
3t² - 8t - 3 = 0
Д = (-8)² - 4 • 3 • (-3) = 100
t_1;2 = (8±10)/6, t₁ = 3, t₂ = -1/3
3^х2 = t₁    3^х2 = t₂
3^х2 = 3    3^х2 = -1/3
х² = 1      х є Ø
х = ±1;

2) 4^1-х - 0,5^1-2х = 1;
2^2(1-х) - (1/2)^1-2х = 1;
2^2-2х - 2^-(1-2х) = 1;
2^2-2х - 2^-1+2х = 1;
2²/2^2х - 2^2х/2 = 1;
8 - 2^4х = 1 • 2^2х • 2;
заміна: 2^2х = t, t > 0;
t² + 2t - 8 = 0
Д = 4 - 4 • (-8) = 36;
t_1;2 = (-2±6)/2;
t₁ = -4 - не підходить; t₂ = 2;
2^2х = t₂;
2^2х = 2;
2х = 1;
х = 0,5;

3) (√7)^2х+2 - 50 • (√7)^х + 7 = 0;
(√7)^2х • (√7)² - 50(√7)^х + 7 = 0;
7 • (√7)^2х - 50 • (√7)^х + 7 = 0;
заміна: (√7)^х = t, t > 0;
7t² - 50t + 7 = 0
Д = (-50)² - 4 • 7 • 7 = 2500 - 196 = 2304;
t_1;2 = (50±48)/14;
t₁ = 7; t₂ = 1/7;
(√7)^х = t₁; (√7)^х = t₂;
(√7)^х = 7; (√7)^х = 1/7;
7^х/2 = 7; (√7)^х = 7^-1;
х/2 = 1; х/2 = -1;
х = 2; х = -2;

4) 2^х2+2х-6 = 2^7-2х-х2;
2^х2+2х-6 = 2^-(х2+2х-7) + 3,5;
2^х2+2х-6 = 1/(2^х2+2х-6-1) + 3,5;
2^{2•(х2+2х-6)-1} = 1 + 3,5 • 2^{(х2+2х-6)-1};
22(х2+2х-6)/2 = 1 + (3,5 • 2^х2+2х-6)/2;
2^2(х2+2х-6) - 3,5 • 2^х2+2х-6 - 2 = 0;
заміна: 2^х2+2х-6 = t, t > 0;
t² - 3,5t - 2 = 0;
Д = (-3,5)² - 4 • (-2) = 12,25 + 8 = 20,25;
t_1;2 = (3,5±4,5)/2;
t₁ = 4; t₂ = -0,5 - не підходить;
2^х2+2х-6 = t₁;
2^х2+2х-6 = 2²;
х² + 2х - 6 - 2 = 0;
х² + 2х - 8 = 0;
Д = 2² - 4 • (-8) = 36;
х_1;2 = (-2±6)/2;
х₁ = -4, х₂ = 2.