Розділ 1. Показникова та логарифмічна функції - § 2. Показникові рівняння

Вправа 2.58

Розв'яжіть рівняння:
1) √0,25^х - 3 • 0,5^х - 4 = 4 - 0,5^х;
2) 3 • √9^-х + 3^-х - 1 = 5 - (3^-х + 3^-2х).

Відповідь:

1) √0,25^х - 3 • 0,5^х - 4 = 4 - 0,5^х
ОДЗ: 0,25^х - 3 • 0,5^х - 4 ≥ 0
0,5^x = t, t > 0
t² - 3t - 4 ≥ 0 метод інтервалів
Д = (-3)² - 4 • (-4) = 25
t_1;2 = (3±5)/2, t₁ = 4, t₂ = -1 - не підходить
0,5^х = t
0,5^х = 4
2^-х = 2²
х = -2

х є [2; +∞) (-∞; 2]
(√0,25^х - 3 • 0,5^х - 4)² = (4 - 0,5^х)²
0,5^2х - 3 • 0,5^х - 4 = 16 - 8 • 0,5^х + 0,5^2х
-3 • 0,5^х + 8 • 0,5^х = 16 + 4
5 • 0,5^х = 20
0,5^х = 4
0,5^х = 2²
2^-х = 2²
-х = 2
х = -2;
 

2) 3 • √9^-х + 3^-х - 1 = 5 - (3^-х + 3^-2х)
3^-2х + 3^-х = t - заміна
3 • √t - 1 = 5 - t
(3√t - 1)² = (5 - t)²
9 • (t - 1) = 25 - 10t + t²
9t - 9 = 25 - 10t + t²
t² - 10t - 9t + 25 + 9 = 0
t² - 19t + 34 = 0
Д = (-19)² - 4 • 34 = 361 - 136 = 225
t_1;2 = (19±25)/2, t₁ = 17, t₂ = 2
3^-2х + 3^-х = 17               3^-2х + 3^-х = 2
3^-х = у - заміна             у² + у - 2 = 0
у² + у - 17 = 0               Д = 1 - 4 • (-2) = 9
Д = 1 - 4 • (-17) = 69    у_1;2 = (-1±3)/2
у_1;2 = (-1±√69)/2           у₁ = -2        у₂ = 1
                                     3^-х = -2       3^-х = 1
                                     Ø                3^-х = 3⁰
                                                        х = 0.